Парадокс в'язня

Мені дають вправу, і я не можу це зовсім зрозуміти.

Парадокс в'язня

Трьох в'язнів в одиночній камері, A, B і C, було засуджено до смертної кари в той самий день, але, оскільки є національне свято, губернатор вирішує, що одному буде призначено помилування. Про це інформують ув'язнених, але кажуть, що до дня, призначеного для страти, вони не дізнаються, кого з них потрібно пощадити.

В'язень А каже в'язниці: "Я вже знаю, що принаймні одного, двох інших в'язнів буде страчено, тому, якщо ви скажете мені ім'я того, хто буде страчений, ви не дасте мені жодної інформації про мою власну страту" .

Тюремник приймає це і каже йому, що С обов’язково помре.

Тоді причини: "Перш ніж я знав, що С повинен бути страчений, я мав 1-й із 3-х шансів отримати помилування. Тепер я знаю, що або B, або я буду помилуваний, шанси покращилися до 1 на 2. ".

Але тюремник зазначає: "Ви могли б дійти аналогічного висновку, якби я сказав, що В помре, і я повинен був відповісти або на В, або на С, тож чому вам потрібно було запитати?".

Які шанси А отримати помилування і чому? Побудуйте пояснення, яке б переконало інших у правильності.

Ви могли вирішити це за теоремою Байєса, намалювавши мережу переконань чи здоровий глузд. Незалежно від обраного вами підходу слід поглибити ваше розуміння оманливо простої концепції умовної ймовірності.

Ось мій аналіз:

Це виглядає як проблема Monty Hall , але не зовсім. Якщо A скаже, що I change my place with Bпісля того, як йому кажуть, С помер, у нього є 2/3 шансу врятуватися. Якщо він цього не зробив, то я б сказав, що його шанси жити на 1/3, як, коли ви не змінюєте свій вибір у проблемі Monty Hall. Але в той же час він у групі з 2 хлопців, і один повинен померти, тому спокусливо сказати, що його шанси - 1/2.

Тож парадокс все ще є тут, як би ви підходили до цього. Крім того, я не маю уявлення, як я міг би зробити мережу переконань щодо цього, тому мені цікаво це бачити.

Спочатку є три можливості з однаковими ймовірностями:

• А буде звільнено (проблема )$1/3$
• B буде звільнено (проблема )$1/3$
• C буде звільнено (проблема )$1/3$

Обіцяючи повідомлення, є чотири можливості з різною ймовірністю:

• A буде звільнено, і A буде сказано, що B буде виконано (завдання )$1/6$
• A буде звільнено, і A сказано, що C буде виконано (завдання )$1/6$
• B буде звільнено, а A сказано, що C буде виконано (завдання )$1/3$
• C буде звільнено, і A сказано, що B буде виконано (завдання )$1/3$

Умовно "A сказано, C буде виконано" це стає

• A буде звільнено, і A сказано, що C буде виконано (завдання )$1/3$
• B буде звільнено, а A сказано, що C буде виконано (завдання )$2/3$

Тож після повідомлення A хотілося б помінятись на B (проблема Monty Hall), але не може і так зберігає початкову ймовірність виконання.$2/3$

Я думаю, що ви переосмислюєте проблему - це проблема Монті Холл, і така ж логіка застосовується.

Я не зовсім впевнений, що згоден з @babelproofreader, що це проблема Monty Hall і застосовується та ж логіка. У проблемі Monty Hall ви спускаєтесь і вибираєте одну двері. Правила полягають у тому, що Монті знає, де знаходиться приз, ніколи не відчинить двері, яка приховує приз, і завжди відкриє одну з невідкритих дверей (тобто якщо ви вибрали двері без призу, він не відчинить двері у вас Виберіть і скажіть: "Вибачте, ви програєте!" і відправте вас на своє місце), і він завжди запропонує вибір для переходу на іншу (нерозкриту незакриту) двері (тобто він не запропонує вибір лише тоді, коли ви вибрали двері з призом.) У цих умовах, якщо позначає подію, що ваш початковий вибір - це двері з призом, то . Якщо$A$$P(A) = \frac{1}{3}$$B$ - це випадок, коли ваш остаточний вибір - це двері з призом

• якщо ваша стратегія завжди залишається поставленою , тоді (оскільки ви зробили правильний вибір на початку і дотримуєтесь цього) і (тому що ви зробили неправильний вибір на початку і дотримуються його). Тож за законом повної ймовірності $P(B \mid A) = 1$$P(B \mid A^c) = 0$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
• якщо ваша стратегія полягає в тому, щоб завжди перемикатися , то (оскільки ви зробили правильний вибір на початку, а потім переключились) і (тому що ви зробили неправильно вибір на початку, і тому залишилися (неприбрані незакриті) двері гарантовано отримають приз). Тож за законом повної ймовірності $P(B \mid A) = 0$$P(B \mid A^c) = 1$ $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

Тут ситуація інша. Місце з не змінюється, як в "Якщо A каже, що я міняю місце з B після того, як йому кажуть, що C помер, у нього є 2/3 шанси бути врятованими". $B$

Додані коментарі: Ще одна відмінність полягає в тому, що А не володіє інформацією щодо того, чи знає в'язниця, кого буде помилувано, чи в'язниця говорить правду, коли каже, що С буде страчений. З іншого боку, тюремник цілком коректний, коли зауважує, що його розповідь про те, що буде виконано С, не передало жодної корисної інформації А. Найближча аналогія до проблеми Монті Холл полягає в тому, що після того, як А обрав двері, Монті відкриває неприбрані двері, щоб розкрити козла, і каже А: "Відкрий свої двері, і подивимося, що у тебе є", тобто немає пропозиції перемикача. Тож шанс А на виграш премії (Монті Холл) або помилування (проблема з ув'язненим) однаковий: з$1$$3$ незалежно від того, відкриває Монті неприбрані двері, щоб розкрити козла чи ні, або тюремник каже А, що С буде виконаний, чи ні, саме так, як Генрі детально розраховував.

Відповідь залежить від того, як тюремник обирає, кого в’язня назвати, коли він знатиме, що його потрібно помилувати. Розглянемо два правила:

1) Тюремник обирає серед B і C випадковим чином, і випадково сказав, що C в цьому випадку. Тоді ймовірність помилування А - 1/3.

2) В'язниця завжди говорить C. Тоді шанс помилування - 1/2.

Все, що нам кажуть, це те, що тюремник сказав С, тому ми не знаємо, яких із цих правил він дотримувався. Насправді, можуть бути й інші правила - можливо, тюремник котить матрицю і каже лише C, якщо він катає 6.

Як вказують інші, проблема трьох ув'язнених - це перефразовування Монти Холл. Для отримання додаткової інформації дивіться розділ 1.7 цього документу http://facturing.winthrop.edu/abernathyk/Monty%20Hall%20Problem.pdf

Уявіть, що тюремник каже А, що С обов'язково помре. А потім він каже Б, що С неодмінно помре. Зрозуміло, що в цьому випадку A і B мають пробачити по 50%. Але в чому різниця між двома версіями?

Три укладених проблема це відрізняється від Monty Hall. Ймовірність помилувати насправді для Аліси, а не , але тільки якщо тюремник дотримується стратегії "завжди називай Боба, коли можливо".$1/2$$2/3$

Події: - Аліса помилувана. Те ж саме для і . - тюремник повідомляє Алісі ім'я "Боб" (як відповідь на "хто буде страчений"). - він каже ім'я "Карл". Він не може назвати себе Алісою через правила.$A$$B$$C$$J$$J^c$

Нас цікавить . Зараз є два сценарії:$P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$

1. Тюремник кидає монету, перш ніж сказати B або C: .$P(J|A) = \frac{1}{2}$

2. Тейлер повідомляє ім'я Боба, коли це можливо: , також і .$P(J|A) = 1$$P(J|C) = 1$$P(J|B) = 0$

Отримавши інформацію про те, що ув'язнений С помре, його шанси змінюються на 1/2, але тільки тому, що шанси, що він отримає цю інформацію, вже є 2/3 (1/3 можливість ув'язненого С отримати помилування усувається )

І 2/3 * 1/2 - це первісна ймовірність звільнення.

Більш переконливим є опозиційний підхід:

Припустимо, що йому сказано, що ув'язнений С отримає помилування.
Які шанси його не вбити?
Усі визнають, що його шанси дорівнюють нулю, якщо припустити, що тюремник не бреше, і є лише одне прощення.

Цього разу він має шанс 1/1, адже шанс на цю інформацію був уже 1/3.