Випадкова хода з імпульсом

Розглянемо ціле випадкове прогулянку, починаючи з 0, з наступними умовами:

Перший крок плюс-мінус 1, з однаковою ймовірністю.
Кожен наступний крок: 60%, ймовірно, будуть в тому ж напрямку, що і попередній крок, 40%, ймовірно, будуть у зворотному напрямку

Яке розповсюдження дає це?

Я знаю, що випадковий хід без імпульсу дає нормальне розподіл. Чи імпульс просто змінює дисперсію, або повністю змінює характер розподілу?

Я шукаю загальну відповідь, тому на 60% і 40% вище я дійсно маю на увазі р і 1-р

stochastic-processes randomness random-walk

— баррикартер
джерело

На насправді, @Dilip, вам потрібна ланцюг Маркова з станами , індексованих упорядкованих пар і , . Переходи:

з вірогідністю

з ймовірністю

(i, i + 1)

$(i,i+1)$

(i, i - 1)

$(i,i-1)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$

p

$p$

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$

1 - p

$1-p$

— whuber

Зверніть увагу, що розміри кроків утворюють ланцюг Маркова на

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$ і ви, здається, (?!) почали його при стаціонарному розподілі.

— кардинал

Ви хочете обмежувати (граничний) розподіл для

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$ де

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$ - це кроки прогулянки?

— кардинал

Іншим підходом може бути перегляд змінних сум геометричних випадкових величин, а потім застосування деякої теорії мартінгале. Проблема полягає в тому, що вам доведеться визначити якийсь час зупинки, який може бути складним.

— shabbychef

Відповіді:

Щоб негайно перейти до висновку, "імпульс" не змінює факту, що нормальний розподіл є асимптотичним наближенням розподілу випадкової ходи, але дисперсія змінюється від до . Це може бути отримане порівняно елементарними міркуваннями в цьому спеціальному випадку. Скажімо, не так важко узагальнити наведені нижче аргументи до CLT для кінцевих ланцюгів Маркова з кінцевим станом, але найбільша проблема - це фактично обчислення дисперсії. Для конкретної проблеми її можна обчислити, і, сподіваємось, наведені нижче аргументи можуть переконати читача, що це правильна дисперсія. $4np(1-p)$ $np/(1-p)$

Використовуючи розуміння, яке Кардинал надає в коментарі, випадкова прогулянка задається як де і утворюють ланцюг Маркова з матриця ймовірностей переходу Для асимптотичних міркувань, коли початковий розподіл не грає ніякої ролі, тому давайте виправити заради наступного аргументу та припустимо також, що . Техніка гладкого полягає в тому, щоб розкласти ланцюг Маркова на самостійні цикли. Нехай

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$ позначаємо вперше, після часу 1, що ланцюг Маркова повертається до 1. Тобто, якщо то , а якщо і то . Взагалі, нехай позначає 'й час повернення до 1, а позначає періоди між поверненнями (з ). З цими визначеннями у нас є

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

З тоді $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
Оскільки приймає значення для і то $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
Часи , , для ланцюга Маркова є iid (формально через сильну властивість Маркова), і в цьому випадку із середнім та дисперсією . Нижче вказано, як обчислити середнє значення та відхилення. $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
Звичайний CLT для змінних призводить до того, що $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
Останнє, що слід зазначити, що вимагає невеликого стрибка віри, тому що я деталі, це те, що , що $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

Для обчислення моментів можна зазначити, що а для , . Тоді можуть бути застосовані методи, подібні до тих, що використовуються при обчисленні моментів для геометричного розподілу. Крім того, якщо геометричний з вірогідністю успіху і то має такий же розподіл, що і , і легко обчислити середнє значення та дисперсію для це останнє подання. $\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
джерело

+1 приємно. Я б тільки написав асимптотичний розподіл для , щоб чітко показати, що CLT застосовується звичайним чином. Але це лише питання смаку.

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$

— mpiktas

«Правило великого пальця» Ван Беля (з другого видання його книги ) включає наближення до стандартної помилки середнього значення, коли інновації мають автокореляцію . Переклад цього за допомогою дає де - положення випадкової прогулянки після кроків, а - стандартне відхилення вибірки (яке буде, асимптотично в , . Підсумок полягає в тому, що я, як грубо наближений, очікую, що стандартне відхилення має бути навколо $\rho$ $\rho = 2p - 1$

True standard error of \bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1 - p}} \frac{s}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

n

$n$

s

$s$

n

$n$

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$ .

редагувати : у мене була неправильна автокореляція (а точніше, слід було трактувати інакше); тепер послідовно (сподіваюся!) $p$

— шабчеф
джерело

Цікаво. Я не впевнений, що для підзаряду виходить щось дуже розумне ; однак це може бути пов'язано з патологіями, пов'язаними з цим випадком.

p = 0

$p=0$

— кардинал

@кардинальний хороший улов, автокореляція повинна бути не . виправляючи це ...

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$

1 - 2 p

$1 - 2p$

— shabbychef