Як показати, що оцінювач є послідовним?

Чи достатньо показати, що MSE = 0 як $n\rightarrow\infty$ ? Я також читав у своїх замітках щось про пліма. Як знайти плім і використовувати його, щоб показати, що оцінювач відповідає?

estimation convergence consistency

— Терпіння
джерело

EDIT: Виправлені незначні помилки.

Ось один із способів зробити це:

Оцінювач $\theta$ (назвемо це $T_n$ ) є послідовним, якщо він ймовірно сходиться до $\theta$ . Використання позначень

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$ .

Зближення у ймовірності, математично, означає

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ для всіх $\epsilon>0$ .

Найпростіший спосіб виявити конвергенцію у ймовірності / послідовності - це посилатися на нерівність Чебишева, де зазначено:

$P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

Таким чином,

$P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

І тому вам потрібно показати, що переходить до 0 як . $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

EDIT 2 : Вищевикладене вимагає, щоб оцінювач був принаймні асимптотично неупередженим. Як вказує Г. Джей Кернс, розглянемо оцінювач (для оцінки середнього ). є упередженим як для кінцевих і для асимптотично, і як . Однак безпідставними оцінка . $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ $\mu$

EDIT 3 : Дивіться пункти кардинала в коментарях нижче.

@ G.JayKerns Неупередженість для цього непотрібна. Розглянемо .

- це упереджений оцінювач стандартного відхилення, але ви можете використовувати наведений вище аргумент, щоб показати, що він відповідає.

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

Виглядає добре (+1); і я видалю свої попередні коментарі.

@ G.JayKerns Ваші коментарі були необхідним доповненням. Ми завжди повинні бути впевнені, що знаємо про припущення, над якими працюємо.

@MikeWierzbicki: Я думаю, що нам потрібно бути дуже обережними, зокрема з тим, що ми маємо на увазі під асимптотично неупередженим . Існують щонайменше два різних поняття, які часто отримують цю назву, і важливо їх розрізняти. Зауважимо, що взагалі не вірно, що послідовний оцінювач асимптотично непідвладна в тому сенсі, що навіть коли середнє значення існує для всіх . Багато людей називають конвергенцію неупередженості в межі або наближеної неупередженості ... (продовження)

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

— кардинал

Очевидно, для того, щоб послідовний оцінювач був упередженим у межі, конвергенція в повинна бути невдалою, оскільки де .

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

— кардинал