Як обчислити

Я намагаюся вирішити проблему для своєї дипломної роботи, і не бачу, як це зробити. У мене є 4 спостереження, випадковим чином взяті з форми $(0,1)$ розповсюдження. Я хочу обчислити ймовірність цього $3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$ . $X_{(i)}$ є статистика i-го порядку (я приймаю статистику замовлення, щоб мої спостереження класифікувалися від найменшого до найбільшого). Я вирішив це для більш простого випадку, але тут я втрачений, як це зробити.

Вся допомога буде вітатися.

probability uniform order-statistics

— sev
джерело

Запишіть статистику замовлень як $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ , $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$ . Почніть з того, що це помітили $x_1 \le x_2$ мається на увазі

Пр [3 х_{1} \geq х_{2} + х_{3}] = 1 - Пр [3 х_{1} < х_{2} + х_{3}] = 1 - Пр [х_{1} \leq хв (х_{2}, \frac{х_{2} + х_{3}}{3})] .

$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$

Ця остання подія розбивається на дві непересічні події залежно від того, яка з та більша: $x_2$ $(x_2+x_3)/2$

\begin{aligned} Пр [х_{1} \leq хв (х_{2}, \frac{х_{2} + х_{3}}{3})] & = Пр [х_{2} \leq \frac{х_{3}}{2}, х_{1} \leq х_{2}] \\ + Пр [\frac{х_{3}}{2} \leq х_{2} \leq х_{3}, х_{1} \leq \frac{х_{2} + х_{3}}{3}] . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$

Тому що спільний розподіл рівномірний на множині , при щільності , $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$ $4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$

Пр [х_{2} \leq \frac{х_{3}}{2}, х_{1} \leq х_{2}] = 4! \int_{0}^{1} г х_{4} \int_{0}^{х_{4}} г х_{3} \int_{0}^{х_{3} / 2} г х_{2} \int_{0}^{х_{2}} г х_{1} = \frac{1}{4}

$\Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4}$

Пр [\frac{х_{3}}{2} \leq х_{2} \leq х_{3}, х_{1} \leq \frac{х_{2} + х_{3}}{3}] = 4! \int_{0}^{1} г х_{4} \int_{0}^{х_{4}} г х_{3} \int_{х_{3} / 2}^{х_{3}} г х_{2} \int_{0}^{(х_{2} + х_{3}) / 2} г х_{1} = \frac{7}{12} .

$\Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}.$

(Кожен інтеграл прямо виконується як ітераційний інтеграл; беруть участь лише поліноміальні інтеграції.)

Отже, бажана ймовірність дорівнює = . $1 - (1/4 + 7/12)$ $1/6$

Редагувати

Розумніше рішення (яке спрощує роботу) випливає з визнання, що коли мають iid Експоненціальні розподіли, , то (написання ) , зменшені часткові суми $y_j$ $1\le j\le n+1$ $y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\$

х_{i} = \sum_{j = 1}^{i} у_{j} / Y,

$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$

$1\le i\le n$ , розподіляються подібно до єдиної статистики порядку. Оскільки майже напевно позитивний, легко випливає, що для будь-якого , $Y$ $n\ge 3$

\begin{aligned} Пр [3 х_{1} \geq х_{2} + х_{3}] & = Пр [\frac{3 у_{1}}{Y} \geq \frac{у_{1} + у_{2}}{Y} + \frac{у_{1} + у_{2} + у_{3}}{Y}] \\ = Пр [3 у_{1} \geq (у_{1} + у_{2}) + (у_{1} + у_{2} + у_{3})] \\ = Пр [у_{1} \geq 2 у_{2} + у_{3}] \\ = \int_{0}^{\infty} досвід (- у_{3}) \int_{0}^{\infty} досвід (- у_{2}) \int_{2 у_{2} + у_{3}}^{\infty} досвід (- у_{1}) г у_{1} г у_{2} г у_{3} \\ = \int_{0}^{\infty} досвід (- у_{3}) \int_{0}^{\infty} досвід (- у_{2}) [досвід (- 2 у_{2} - у_{3})] г у_{2} г у_{3} \\ = \int_{0}^{\infty} досвід (- 2 у_{3}) г у_{3} \int_{0}^{\infty} досвід (- 3 у_{2}) г у_{2} \\ = \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1}{Y}\ge\frac{y_1+y_2}{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3}{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$

— дзижчати
джерело

Велике спасибі за вашу допомогу! Я був заблокований у своїх дослідженнях через цю проблему, тому ще раз дякую!

— сев

+1 Особливо цінується точка зору, додана в останніх редакціях

— Діліп Сарват