Метод другого моменту, броунівський рух?

Нехай - це стандартний броунівський рух. Нехай позначає подію і нехай де позначає функцію індикатора. Чи існує такий, що для для всіх ? Я підозрюю, що відповідь - так; Я спробував возитися з методом другого моменту, але не дуже. Чи можна це показати методом другого моменту? Або я повинен спробувати щось інше? $B_t$ $E_{j, n}$

{Б_{т} = 0 для деяких \frac{j - 1}{2^{н}} \leq т \leq \frac{j}{2^{н}}},

$\left\{B_t = 0 \text{ for some }{{j-1}\over{2^n}} \le t \le {j\over{2^n}}\right\},$

К_{н} = \sum_{j = 2^{н} + 1}^{2^{2 н}} 1_{Е_{j, н}},

$K_n = \sum_{j = 2^n + 1}^{2^{2n}} 1_{E_{j,n}},$

1

$1$

ρ > 0

$\rho > 0$

P {K_{n} \geq ρ 2^{n}} \geq ρ

$\mathbb{P}\{K_n \ge \rho2^{n}\} \ge \rho$

n

$n$

— Студент
джерело

По- перше, якщо ваша сума не буде:

К_{н} = \sum_{j = 2^{н} + 1}^{2^{н + 1}}

$K_n = \sum_{j=2^n+1}^{2^{n+1}}$ , як ваші підказки подій , що швидкість росту

K_{n}

$K_n$ є

2^{n}

$2^n$ так можна було б очікувати , що ваша сума , щоб мати

2^{n + 1}

$2^{n+1}$ умови , ні?

— Грант Ізмірліан

Не відповідь, але можливо корисне переформулювання

$2^{n+1}$

p_{н} (ρ) = П (К_{н} > ρ 2^{н}) = П (К_{н} / 2^{н} > ρ)

$p_n(\rho)=P(K_n>\rho 2^n)=P(K_n/2^n>\rho )$

p_{n} (ρ_{1}) > p_{n} (ρ_{2})

$p_n(\rho_1)>p_n(\rho_2)$

ρ_{1} < ρ_{2}

$\rho_1 < \rho_2$

$\rho$ $\delta$

lim_{н \to \infty} p_{н} (δ) > 0

$\lim_{n\rightarrow \infty} p_n(\delta)>0$

p_{n} (δ)

$p_n(\delta)$

p_{n} (δ) > ε

$p_n(\delta)>\varepsilon$

p_{н} (хв (ε, δ)) \geq p_{н} (δ) > ε \geq хв (ε, δ)

$p_n(\min(\varepsilon,\delta)) \geq p_n(\delta)>\varepsilon \geq \min(\varepsilon,\delta)$

ρ = min (ε, δ)

$\rho=\min(\varepsilon, \delta)$

Тому вам просто потрібно показати граничну щоб бути позитивною. $p_n$

Потім я би дослідив змінну та її очікуване значення $K_n/2^n$

— крзміп
джерело