Порівняння двох гістограм за допомогою відстані Chi-Square

18

Я хочу порівняти два образи облич. Я підрахував їхні LBP-гістограми. Тому зараз мені потрібно порівняти ці дві гістограми і отримати щось, що дозволить сказати, наскільки ці гістограми рівні (0 - 100%).

Існує багато способів вирішення цього завдання, але автори методу LBP підкреслюють (Опис обличчя з локальними бінарними візерунками: Застосування до розпізнавання обличчя. 2004), що відстань Chi-квадрата краще, ніж перетин гістограми та статистика вірогідності журналу.

Автори також показують формулу відстані Chi-Square:

\sum_{i = 1}^{н} \frac{(х_{i} - у_{i})^{2}}{(х_{i} + у_{i})}

$\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {(x_i + y_i)}$

Якщо $n$ - кількість бункерів, $x_i$ - значення першого біна, - значення другого біна. $y_i$

У деяких дослідженнях (наприклад, сімейство відстань від квадратних гістологій Гі), я бачив, що формула відстані Chi-квадрата:

\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{н} \frac{(х_{i} - у_{i})^{2}}{(х_{i} + у_{i})}

$\cfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {(x_i + y_i)}$

І там http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda35f.htm я бачу, що формула відстані Chi-Square:

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - y_{i})^{2}}{y_{i}}

$\sum_{i=1}^{n} \cfrac{(x_i - y_i)^2} {y_i}$

Я затримався з цим. У мене є кілька питань:

Який вираз я повинен використовувати?
Як слід інтерпретувати результат різниці? Я знаю, що різниця, що дорівнює 0, означає, що обидві гістограми рівні, але як я можу знати, коли обидві гістограми абсолютно різні? Чи потрібно для цього використовувати таблицю Chi-Square? Або мені потрібно використовувати поріг? В основному я хочу відобразити різницю в відсотках.
Чому ці три вирази різні?

chi-squared histogram image-processing

— Антон Головін
джерело

Хіба не значення того ж біна, що і xi, але в порівняльному розподілі, а не другого біна?

— ReneBt

7

@Silverfish попросив розширити відповідь від PolatAlemdar, яка не була надана, тому я спробую розширити цю проблему тут.

Чому назва чіскедра відстань? Тест чісквара для таблиць на випадок надзвичайних ситуацій заснований на так ідеящоб зберегти цю форму і використовувати йогоякості міри відстані. Це дає третю формулу ОП, зінтерпретується як спостереження, аяк очікування, що пояснює коментар ПолатАлемдара "Використовується в дискретних розподілах ймовірностей", як, наприклад, у справі тесту на придатність. Ця третя форманеє функцією відстані, оскільки вона асиметрична в зміннихі. Для порівняння гістограми нам потрібна функція відстані, симетрична ві, і дві перші форми дають це. Різниця між ними - лише постійний коефіцієнт

χ^{2} = \sum_{cells} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

$\chi^2 = \sum_{\text{cells}} \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

x_{i}

$x_i$

y_{i}

$y_i$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

, що неважливо, якщо ви просто послідовно вибираєте одну форму (хоча версія з додатковим фактором

\frac{1}{2}

$\frac12$

краще, якщо ви хочете порівняти з асиметричною формою). Зауважимо подібність у цих формулах із квадратом евклідової відстані, тобто не випадковість, відстань чіскадра - це свого родузваженаевклідова відстань. З цієї причини формули в ОП зазвичай ставлять під кореневим знаком, щоб отримативідстань. Далі ми слідуємо за цим.

\frac{1}{2}

$\frac12$

Відстань на чіскверті використовується також у кореспондентському аналізі. Щоб побачити співвідношення до використовуваної форми, нехай є осередками таблиці непередбачених ситуацій з рядками та стовпцями Позначимо підсумки рядків а підсумкові стовпці . Відстань між чітками між рядками задається $x_{ij}$ $R$ $C$ $x_{+j}=\sum_i x_{ij}$ $x_{i+}=\sum_j x_{ij}$ $l,k$ Для випадку, що містить лише два ряди (дві гістограми), вони відновляють першу формулу ОП (за модулем кореневий знак).

χ^{2} (l, k) = \sqrt{\sum_{j} \frac{1}{x_{+ j}} {(\frac{x_{l j}}{x_{l +}} - \frac{x_{k j}}{x_{k +}})}^{2}}

$\chi^2(l,k) = \sqrt{\sum_j \frac1{x_{+j}}\left(\frac{x_{lj}}{x_{l+}}-\frac{x_{kj}}{x_{k+}} \right)^2 }$

EDIT

Відповідаючи на запитання в коментарях нижче: Книга з довгими дискусіями про відстань чіскарда - "АНАЛІЗ КОРРЕСПОНДЕНЦІЇ В ПРАКТИЦІ (друге видання)" Майкла Грінакре (Chapman & Hall). Це добре відома назва, що походить від її подібності до chisquare як використовується для таблиць на випадок надзвичайних ситуацій. Яке поширення воно має? Я ніколи цього не вивчав, але, ймовірно, (за певних умов ...) це мало б певне розподілення, приблизно. Докази повинні бути аналогічні тому, що робиться з таблицями на випадок надзвичайних ситуацій, більшість літератури про аналіз кореспонденції не входить в теорію розподілу. Документ, що містить таку, можливо, відповідну таку теорію, є http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0101-74382016000100023 . Також див/stats//search?q=%22chisquare+distance%22 для деяких інших відповідних публікацій на цьому сайті.

— kjetil b halvorsen
джерело

Чи можу я запитати, чому ваше останнє рівняння називається відстань чіскадра? Чи поширюється вона як така? Чи можете ви надати, будь ласка, вихід, або посилання на нього? Я не можу знайти його.

— Найменші квадратиWonderer

1

Дивіться мої зміни вище.

— kjetil b halvorsen

3

Я вважав це посилання дуже корисним: http://docs.opencv.org/2.4/doc/tutorials/imgproc/histograms/histogram_comppare/histogram_comppare.html

Я не зовсім впевнений, чому, але OpenCV використовує 3-ту формулу, яку ви перераховуєте, для порівняння гістограми Chi-Square.

З точки зору сенсу, я не впевнений, що будь-який алгоритм вимірювання дасть вам обмежений діапазон, наприклад від 0% до 100%. Іншими словами, ви можете точно сказати, що два зображення однакові: значення кореляції 1,0 або значення хі-квадрата 0,0; але важко встановити обмеження на те, наскільки різні зображення мають два: уявіть, порівнюючи абсолютно біле зображення з цілком чорним зображенням, числове значення буде нескінченним чи, можливо, Не-числом.

— Рассел
джерело

2

$x$ $y$

Інші два використовуються для обчислення подібності гістограми.

— PolatAlemdar
джерело

1

$x$

x

$x$

2

x

$x$

y

$y$

0

Як вимагає ОП, значення у відсотках (для рівняння 1):

$p = \frac{\chi * S * 100}{N}$

$p$ $\chi$ $N$ $S$

Доповнено за запитом:

Обчисливши це рівняння, можна мати відсоток різниці від повної гістограми. Розрахувавши це для обох гістограм, а потім віднявши одну від іншої, можна мати різницю у відсотках.

— Карлос Барселос
джерело

2

Мені важко бачити, як це відповідь на будь-яке питання. Чи можете ви докладно?

— Лаконічний

Це дасть (у відсотках, якщо вимагається), наскільки одна гістограма відрізняється від повної гістограми. Якщо обчислити це рівняння з обох гістограм, ми будемо знати різницю між іншою, оскільки це використовується для тріангуляції.

— Карлос Барселос