Як працює метод зворотного перетворення?

21

Як працює метод інверсії?
Скажімо , у мене випадкову вибірку $X_1,X_2,...,X_n$ з щільністю $f(x;\theta)={1\over \theta} x^{(1-\theta)\over \theta}$ над
$0<x<1$ і тому з cdf $F_X(x)=x^{1/\theta}$ on $(0,1)$ . Тоді методом інверсії я отримую розподіл $X$ як $F_X^{-1}(u)=u^\theta$ .

Так само $u^\theta$ має розподіл $X$ ? Так працює метод інверсії?

u<-runif(n)
x<-u^(theta)

— кларксон
джерело

3

Дивіться наші нитки щодо інтегрального перетворення ймовірності .

— whuber

1

Так, хоча зазвичай його називають "інтегральним перетворенням ймовірності". Спробуйте вивести функцію розподілу

щоб побачити, чому вона працює.

F^{- 1} (U)

$F^{-1}(U)$

— dsaxton

20

Метод дуже простий, тому опишу його простими словами. Спочатку скористайтеся функцією кумулятивного розподілу деякого розподілу, з якого ви хочете взяти вибірку. Функція приймає як вхід деяке значення і повідомляє вам, яка ймовірність отримання . Так $F_X$ $x$ $X \leq x$

F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = p

$F_X(x) = \Pr(X \leq x) = p$

Зворотній від такої функції функції, прийме як вхід, а повертає . Зверніть увагу , що «s рівномірно розподілені - це може бути використано для відбору проб з будь-якого , якщо ви знаєте , . Метод називається вибіркою зворотного перетворення . Ідея дуже проста: легко відібрати значення рівномірно з , тому якщо ви хочете вибірки з деякого , просто візьміть значення $F_X^{-1}$ $p$ $x$ $p$ $F_X$ $F_X^{-1}$ $U(0, 1)$ $F_X$ і проведіть через щоб отримати 's $u \sim U(0, 1)$ $u$ $F_X^{-1}$ $x$

F_{X}^{- 1} (u) = x

$F_X^{-1}(u) = x$

або в R (для нормального розподілу)

U <- runif(1e6)
X <- qnorm(U)

Щоб візуалізувати його, подивіться на CDF нижче, як правило, ми думаємо про розподіли з точки зору перегляду ox для ймовірностей значень з -axis. За допомогою цього методу вибірки ми робимо навпаки і починаємо з "ймовірностей" і використовуємо їх для вибору пов'язаних з ними значень. За допомогою дискретних розподілів ви розглядаєте як рядок від до і присвоюєте значення залежно від того, де лежить деяка точка на цій лінії (наприклад, якщо або якщо для вибірки з $y$ $x$ $U$ $0$ $1$ $u$ $0$ $0 \leq u < 0.5$ $1$ $0.5 \leq u \leq 1$ ). $\mathrm{Bernoulli}(0.5)$

На жаль, це не завжди можливо, оскільки не кожна функція має свою зворотну форму, наприклад, ви не можете використовувати цей метод при двовимірних розподілах. Він також не повинен бути найефективнішим методом у всіх ситуаціях, у багатьох випадках існують кращі алгоритми.

Ви також запитуєте, який розподіл . Оскільки є оберненою , то і , так що так, значення, отримані таким методом, мають таке ж розподіл , як . Ви можете перевірити це за допомогою простого моделювання $F_X^{-1}(u)$ $F_X^{-1}$ $F_X$ $F_X(F_X^{-1}(u)) = u$ $F_X^{-1}(F_X(x)) = x$ $X$

U <- runif(1e6)
all.equal(pnorm(qnorm(U)), U)

— Тім
джерело

Гарна відповідь. Цей метод працює, коли у вас є такі розподіли, як експоненціальний, коші, геометричний, парето, логістичний, екстремальний значення вейбула тощо. Наприклад, ви не можете знайти закриту форму для нормального розподілу . Тому ви не зможете використовувати цей метод. Ви можете спробувати інші методи, такі як метод відхилення .

— Аббас Салімі

2

Можна використовувати метод зворотного перетворення з нормальним розподілом. Існує чимало реалізацій для нормального зворотного CDF . Наприклад, ви можете записати звичайний зворотний CDF, використовуючи додаткову функцію помилок . Приклад реалізації erfc тут . Не кодуйте erfc самостійно; користуватися бібліотекою. Те, що не існує формули закритої форми, не означає, що ви не можете використовувати числові наближення високої якості.

— Меттью Ганн

2

Так, має розподіл $U^θ$ $X$ .

Дві додаткові точки щодо інтуїції за методом зворотного перетворення можуть бути корисними

$F^{-1}$

(2) [Будь ласка, просто ігноруйте наступне, якщо це приносить більше плутанини замість ясності]

$X$ $F$

F (X) \sim Unif (0, 1)

$F(X) \sim \text{Unif}(0,1)$

X

$X$

X

$X$

F (X)

$F(X)$

$X$ $X^{1/\theta} \sim \text{Unif}(0,1)$ . Нехай назвемо цю випадкову змінну $U$ . Так

U = Х^{1 / θ}

$U = X^{1/\theta}$ Повертаючись до свого питання, у вас протилежне завдання: генерувати

X

$X$ з

U

$U$ . Так, справді

Х = U^{θ}

$X=U^\theta$

PS. Альтернативними назвами методу є інтегральне перетворення ймовірності, вибіркове обернене перетворення, квантильне перетворення та, в деяких джерелах, "фундаментальна теорема моделювання".

— den2042
джерело