Трансформація статистики замовлень

Припустимо, випадкові величини і незалежні, а -розподілені. Покажіть, що має Розподіл . $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

Я розпочав цю проблему, встановивши $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ Тоді $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ поширюватиметься як $(\frac{z}{a})^{2n}$ а $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ поширюватиметься як $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ Щільності можна легко знайти як $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ і $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

Ось де мені важко знати, куди йти далі, коли вони розраховані. Я думаю, що це має щось робити з трансформацією, але я не впевнений ...

self-study data-transformation order-statistics

— Сьюзен
джерело

Звичайно, ви повинні припустити, що не тільки

X_{i}

$X_i$ і

Y_{i}

$Y_i$ iid, але і

X_{i}

$X_i$ не залежать від

Y_{j}

$Y_j$ . Враховуючи це, чи думали ви працювати безпосередньо з

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ ?

— whuber

@whuber, моя думка з вашого коментаря полягає в тому, щоб встановити перетворення, де я вирішую щільність n * log (Z

_{i}

$_i$ )?

— Сьюзан

Я трохи переформатував (особливо перетворив і у та ), але якщо вам це не подобається, як це, ви можете повернутися до попередньої версії (натиснувши посилання "відредаговано <x> тому") над моїм граватаром внизу вашої публікації), а потім натисніть посилання "відкати" над попередньою версією.

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

— Glen_b -Встановити Моніку

Сьюзен, здається, ти неправильно витлумачив / неправильно прочитав питання. Питання шукає співвідношення Знаменник посилається на : де - максимальна статистика порядку s, а - максимальна статистика порядку с. Іншими словами, шукає min (maxX, maxY), а не мінімум усіх s та s, тому ви не можете використовувати свій трюк Z вирівняти / об'єднати всі значення X і Y. .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

— вовчі

У будь-якому випадку, і як окрема справа, немає сенсу (як ви це зробили) обчислювати щільність , а окремо щільність , оскільки різні статистичні дані порядку не є взагалі незалежні. Щоб знайти співвідношення , потрібно спочатку знайти спільний pdf , якби це була проблема під рукою (чого це не так).

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

— волфує

Відповіді:

Цю проблему можна вирішити лише з визначень: єдиним розширеним обчисленням є інтеграл одночлена.

Попередні спостереження

Давайте попрацюємо зі змінними та всьому протязі: це не змінює але це робить iid з уніфікованими розподілами, виключаючи всі відволікаючі види в обчисленнях. Таким чином, ми можемо вважати, що без втрати загальності. $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

Зауважимо, що незалежність та їх рівномірний розподіл означають, що для будь-якого числа для якого , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

з однаковим результатом для . Для подальшого ознайомлення це дозволяє зробити обчислення $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

Рішення

Нехай - додатне дійсне число. Щоб знайти розподіл , замініть його визначення та спростіть отриману нерівність: $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

Ця подія розпадається на два неправдоподібні випадки, залежно від того, чи або є меншим з двох (і їх перетин, з нульовою ймовірністю, можна ігнорувати). Таким чином, нам потрібно лише обчислити шанс одного з цих випадків (скажімо, де менший) і подвоїти його. Оскільки , , що дозволяє нам (при дозволі грати роль від ) застосовувати обчислення в попередньому розділі: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

Це означає, що має розподіл Exp . $Z_n$ $(1)$

— дзижчати
джерело

Я накидаю це рішення, використовуючи систему комп’ютерної алгебри, щоб робити солодкі зернисті ...

Рішення

Якщо - зразок розміру на батьківському , то pdf вибіркового максимуму дорівнює: і аналогічно для . $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

Підхід 1: Знайдіть спільний pdf з $(X_{(n)},Y_{(n)})$

Оскільки і незалежні, спільний pdf з двох максимумів вибірки є просто добутком двох pdf, скажімо : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

Дано . Тоді, cdf є є: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

де я використовую Probфункцію з пакету mathStatica для Mathematica для автоматизації. Диференціація cdf wrt дає pdf як стандартний Експонентальний. $z$ $Z_n$

Підхід 2: Статистика замовлень

Ми можемо використовувати статистику замовлень, щоб "обходити" механіку роботи з функціями Max і Min.

Ще раз: якщо - зразок розміру на батьківському , то pdf вибіркового максимуму є, скажімо, : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

Вибірки максимумів і є лише двома незалежними малюнками з цього розподілу ; тобто і порядкові статистики (в зразку розміром 2) тільки те , що ми шукаємо: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

Спільний pdf у зразку розміром 2, скажімо, , Є: $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

Дано . Тоді, cdf є є: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

Перевага такого підходу полягає в тому, що обчислення ймовірності більше не передбачає функцій max / min, що може зробити деривацію (особливо вручну) дещо легшою для вираження.

Інший

Згідно з моїм коментарем вище, здається, ви неправильно трактували питання ...

Нас просять знайти:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

де знаменник хв (Xmax, YMAX), ... не менш все в «з і » s. $X$ $Y$

— вовки
джерело

За вашим ескізом я розумію, як я неправильно трактував питання. Я розумію, як обчислити спільний pdf двох максимумів вибірки, але я все ще не впевнений, як ми інтерпретуємо співвідношення max / min.

— Сьюзан

Я додав альтернативне виведення, використовуючи статистику замовлення, яка "обходить" макс / хв.

— вовчі

Якби ви починали з журналів даних, Сьюзен, ви б дивились на відмінності статистики замовлень, а не на співвідношення .

— whuber

Я не переконаний, що використання офіційних комп'ютерних обчислень є найкращим способом пояснити причину, чому співвідношення є випадковою змінною Exp (1).

— Сіань

Хороший момент ... окрім ОП не вимагає причини ..., але щоб показати, що це Exp [1]. Я також не впевнений у тому, чи це домашнє завдання (чи завдання) ... і це насправді одна приємна перевага використання комп’ютера: потрібно надати наступні кроки, перевірити результат, щоб мати правильний підхід , але механіку все ж залишають на ОП. Було б хтось добре вивчити пропозицію @ whuber взяти журнали на початку.

— волфує