Розподіл відношення між двома незалежними рівномірними випадковими змінними

17

Supppse $X$ і $Y$ стандартно рівномірно розподілені в $[0, 1]$ , і вони незалежні, що таке PDF у форматі $Z = Y / X$ ?

Відповідь з деякого підручника з теорії ймовірностей є

f_{Z} (z) = {\begin{cases} 1 / 2, & if 0 \leq z \leq 1 \\ 1 / (2 z^{2}), & if z > 1 \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$f_Z(z) = \begin{cases} 1/2, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ 1/(2z^2), & \text{if } z > 1 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

Я цікаво, в силу симетрії, не повинні $f_Z(1/2) = f_Z(2)$ ? Це не так, як зазначено у PDF вище.

probability derived-distributions

— qed
джерело

Що таке область

і

?

X

$X$

Y

$Y$

— Собі

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

— kjetil b halvorsen

2

Чому ви очікували, що це правда? Функція щільності говорить вам , наскільки щільно упаковані ймовірність в околиці точки, і це, очевидно , більш важким для

, щоб бути поруч з

, ніж

(вважають, наприклад , що

завжди може бути

незалежно від того , що

є, але

, коли

).

Z

$Z$

2

$2$

1 / 2

$1/2$

Z

$Z$

1 / 2

$1/2$

X

$X$

Z < 2

$Z < 2$

X > 1 / 2

$X > 1/2$

— dsaxton

2

Можливий дублікат розподілу співвідношення форменого одягу: Що не так?

— Сіань

3

Я не думаю, що це дублікат, це питання шукає PDF, тут у мене є PDF, я просто сумніваюся у його правильності (можливо, досить наївно).

— qed

19

Правильна логіка полягає в тому, що при незалежних , $X, Y \sim U(0,1)$ і $Z=\frac YX$ однаковийрозподілі так для $Z^{-1} =\frac XY$ $0 < z < 1$ де рівняння з CDF використовує той факт, що

\begin{aligned} P {\frac{Y}{X} \leq z} & = P {\frac{X}{Y} \leq z} \\ = P {\frac{Y}{X} \geq \frac{1}{z}} \\ F_{Z} (z) & = 1 - F_{Z} (\frac{1}{z}) \end{aligned}

$\begin{align} P\left\{\frac YX \leq z\right\} &= P\left\{\frac XY \leq z\right\}\\ &= P\left\{\frac YX \geq \frac 1z \right\}\\ \left.\left.F_{Z}\right(z\right) &= 1 - F_{Z}\left(\frac 1z\right) \end{align}$

- неперервна випадкова величина і тому

. Отже, pdf від

задовольняє

\frac{Y}{X}

$\frac YX$

P {Z \geq a} = P {Z > a} = 1 - F_{Z} (a)

$P\{Z \geq a\} = P\{Z > a\} = 1-F_Z(a)$

Z

$Z$

Отже,

f_{Z} (z) = z^{- 2} f_{Z} (z^{- 1}), 0 < z < 1.

$f_Z(z) = z^{-2}f_Z(z^{-1}), \quad 0 < z < 1.$

, а не

f_{Z} (\frac{1}{2}) = 4 f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = 4f_Z(2)$

як ти думав, що має бути.

f_{Z} (\frac{1}{2}) = f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = f_Z(2)$

— Діліп Сарват
джерело

14

Цей розподіл є симетричним - якщо ви подивіться на це правильний шлях.

Симетрія, яку ви (правильно) спостерігали, полягає в тому, що і повинні бути розподілені однаково. Працюючи з співвідношеннями та потужностями, ви дійсно працюєте в межах мультиплікативної групи позитивних дійсних чисел. Аналогом міри інваріантного розташування на додаткові дійсні числа є міра інваріантної міри $Y/X$ $X/Y = 1/(Y/X)$ $d\lambda=dx$ $\mathbb{R}$ $d\mu = dx/x$ для мультиплікативної групи додатних дійсних чисел. Він має такі бажані властивості: $\mathbb{R}^{*}$

є інваріантним при перетворенні для будь-якої позитивної константи : $d\mu$ $x\to ax$ $a$
$d μ (a x) = \frac{d (a x)}{a x} = \frac{d x}{x} = d μ .$ $d\mu(ax) = \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} = d\mu.$
є коваріантним при перетворенні для ненульових чисел : $d\mu$ $x\to x^b$ $b$
$d μ (x^{b}) = \frac{d (x^{b})}{x^{b}} = \frac{b x^{b - 1} d x}{x^{b}} = b \frac{d x}{x} = b d μ .$ $d\mu(x^b) = \frac{d(x^b)}{x^b} = \frac{b x^{b-1} dx}{x^b} = b\frac{dx}{x} = b\, d\mu.$
перетворюється на за допомогою експоненціалу: $d\mu$ $d\lambda$ Так самоперетворюється назад вчерез логарифм.
$d μ (e^{x}) = \frac{d e^{x}}{e^{x}} = \frac{e^{x} d x}{e^{x}} = d x = d λ .$ $d\mu(e^x) = \frac{de^x}{e^x} = \frac{e^x dx}{e^x} = dx = d\lambda.$ $d\lambda$ $d\mu$

(3) встановлює ізоморфізм між вимірюваними групами та . Відображення на адитивному просторі відповідає інверсії на мультиплікативному просторі, тому що . $(\mathbb{R}, +, d\lambda)$ $(\mathbb{R}^{*}, *, d\mu)$ $x \to -x$ $x \to 1/x$ $e^{-x} = 1/e^x$

Застосуємо ці спостереження, записавши елемент ймовірності через (розуміючи неявно, що ), а не : $Z=Y/X$ $d\mu$ $z \gt 0$ $d\lambda$

f_{Z} (z) d z = g_{Z} (z) d μ = \frac{1}{2} {\begin{cases} 1 d z = z d μ, & if 0 \leq z \leq 1 \\ \frac{1}{z^{2}} d z = \frac{1}{z} d μ, & if z > 1. \end{cases}

$f_Z(z)\,dz = g_Z(z)\,d\mu = \frac{1}{2}\begin{cases} 1\,dz = z\, d\mu, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ \frac{1}{z^2}dz = \frac{1}{z}\, d\mu, & \text{if } z > 1. \end{cases}$

$d\mu$ $g_Z(z)$ $z$ $0\lt z \le 1$ $1/z$ $1 \le z$ , close to what you had hoped.

This is not a mere one-off trick. Understanding the role of $d\mu$ makes many formulas look simpler and more natural. For instance, the probability element of the Gamma function with parameter $k$ , $x^{k-1}e^x\,dx$ becomes $x^k e^x d\mu$ . It's easier to work with $d\mu$ than with $d\lambda$ when transforming $x$ by rescaling, taking powers, or exponentiating.

The idea of an invariant measure on a group is far more general, too, and has applications in that area of statistics where problems exhibit some invariance under groups of transformations (such as changes of units of measure, rotations in higher dimensions, and so on).

— whuber
джерело

3

Looks like a very insightful answer. It's a pity I don't understand it at the moment. I will check back later.

— qed

4

If you think geometrically...

In the $X$ - $Y$ plane, curves of constant $Z = Y/X$ are lines through the origin. ( $Y/X$ is the slope.) One can read off the value of $Z$ from a line through the origin by finding its intersection with the line $X=1$ . (If you've ever studied projective space: here $X$ is the homogenizing variable, so looking at values on the slice $X=1$ is a relatively natural thing to do.)

Consider a small interval of $Z$ s, $(a,b)$ . This interval can also be discussed on the line $X=1$ as the line segment from $(1,a)$ to $(1,b)$ . The set of lines through the origin passing through this interval forms a solid triangle in the square $(X,Y) \in U = [0,1]\times[0,1]$ , which is the region we're actually interested in. If $0 \leq a < b \leq 1$ , then the area of the triangle is $\frac{1}{2}(1-0)(b-a)$ , so keeping the length of the interval constant and sliding it up and down the line $X=1$ (but not past $0$ or $1$ ), the area is the same, so the probability of picking an $(X,Y)$ in the triangle is constant, so the probability of picking a $Z$ in the interval is constant.

However, for $b>1$ , the boundary of the region $U$ turns away from the line $X = 1$ and the triangle is truncated. If $1 \leq a < b$ , the projections down lines through the origin from $(1,a)$ and $(1,b)$ to the upper boundary of $U$ are to the points $(1/a,1)$ and $(1/b,1)$ . The resulting area of the triangle is $\frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(1-0)$ . From this we see the area is not uniform and as we slide $(a,b)$ further and further to the right, the probability of selecting a point in the triangle decreases to zero.

Then the same algebra demonstrated in other answers finishes the problem. In particular, returning to the OP's last question, $f_Z(1/2)$ corresponds to a line that reaches $X=1$ , but $f_Z(2)$ does not, so the desired symmetry does not hold.

— Eric Towers
джерело

3

Just for the record, my intuition was totally wrong. We are talking about density, not probability. The right logic is to check that

\int_{1}^{k} f_{Z} (z) d z = \int_{1 / k}^{1} f_{Z} (z) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{k})

$\int_1^k f_Z(z) dz = \int_{1/k}^1 f_Z(z) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{k})$ ,

and this is indeed the case.

— qed
джерело

1

Yea the link Distribution of a ratio of uniforms: What is wrong? provides CDF of $Z=Y/X$ . The PDF here is just derivative of the CDF. So the formula is correct. I think your problem lies in the assumption that you think Z is "symmetric" around 1. However this is not true. Intuitively Z should be a skewed distribution, for example it is useful to think when Y is a fixed number between $(0,1)$ and X is a number close to 0, thus the ratio would be going to infinity. So the symmetry of distribution is not true. I hope this help a bit.

— lzstat
джерело