Математичне визначення асимптотики заливки

Я пишу статтю, яка використовує непосильну асимптотику, і один з моїх рецензентів попросив надати чітке математичне визначення того, що таке асимптотика заповнення (тобто з математичними символами та позначеннями).

Я, здається, не знайшов жодної у літературі і сподівався, що хтось може або вказати мені в бік когось, або дати мені власне написане визначення.

Якщо ви не знайомі з асимптотиками для заповнення (їх також називають асимптотиками з фіксованим доменом), вони такі: Асимптотика заповнення заснована на спостереженнях, які стають все більш щільними в деякій нерухомій і обмеженій області, оскільки їх кількість збільшується.

В іншому випадку, асимптотика заповнення - це місце, де збирається більше даних шляхом більш щільного відбору проб у фіксованій області.

Я вже дивився на Stein 1999 та Cressie 1993, але нічого там "математично" суворого.

Ось цитований уривок з моєї роботи.

Тому важливо визнати вид асимптотики, з яким ми маємо справу. У нашому випадку асимптотика, з якою ми маємо справу, ґрунтується на спостереженнях, які дедалі густішають у певній нерухомій та обмеженій області із збільшенням їх кількості. Ці типи асимптотиків відомі як асимптотики фіксованого домену (Stein, 1999) або заповнення асимптотики (Cressie, 1993). Заповнення асимптотики, де більше даних збирається шляхом більш щільного відбору проб у фіксованій області, відіграватиме ключову роль, допомагаючи нам розробити аргумент для ...

Неважливо зазначити, що я відбираю свої спостереження, використовуючи вибірку з латинської гіперкуби.

Ось що має сказати книга Крессі про заповнену асимптотику.

asymptotics definition

Розділ 5.8 « Наповнення асимптотики» першого (1991 р.) Видання книги Крессі зрозумілий. Хоча це не дає визначення в математичних позначеннях, приклад (асимптотики, які "делікатніші, ніж заповнення"), явно наводиться дві сторінки пізніше, використовуючи математичні позначення. Не могли б ви процитувати опис у вашій власній роботі "заповнення асимптотики"?

— whuber

@whuber Я додав цитату до оригінального запитання

Дякую. Ця цитата не здається достатньо конкретною. Як саме ви займаєтеся вибіркою фіксованого домену? Приклад (запропонований Крессі) полягає в тому, що ви відбираєте одну точку, а потім назавжди відбираєте вибірку в кластері навколо іншої точки. Можливо, це може мати іншу асимптотичну поведінку, ніж вибірки, наприклад, з однорідним Пуассоновим процесом.

— whuber

@whuber Я використовую зразки латинських гіперкубів.

Будь ласка, включіть цю інформацію у своє запитання, оскільки це важливо для відповіді.

— whuber

Відповіді:

Визначення асимптотики заповнення не є особливо корисним (технічно, якщо домен залишається фіксованим, а розмір вибірки збільшується, тобто асимптотики заповнення. Але врахуйте випадок, коли ви проводите вибірку на трансекті від 0 до 1, беручи один зразок у 0,1 / 2, інший зразок в 1 / 2,3 / 4, інший в інтервалі 3/4, 7/8 і т. Д. Ви зможете багато сказати про значення в 1, але не зможете сказати багато інше.)

$\epsilon$ $\epsilon>0$ $n\rightarrow\infty$

Іноді заповнення не дається явно, надається лише дизайн. Наприклад, у статті Лахірі («Невідповідність оцінювачів, що базується на просторових даних у режимі заповнення асимптотики)», він описує конструкцію, яка по суті є «стрибкою» сітки (деяка випадковість як невеликий рівень, але, як правило, заснована на вибірці в гіпер прямокутній формі субрегіони), який є асимптотично щільним у фіксованій області. Він отримує результат (загальний для проблем із заповненням), що більшість параметрів варіограми оцінюється непослідовно.

Лагірі, Лі та Крессі (Про асимптотичний розподіл та асимптотичну ефективність найменших квадратних оцінювачів параметрів просторової варіограми, J.StatPlanInf 2002, т. 103, с. 65-85) аналогічно розглядають сітки заповнення, які систематично стають більш щільно розташованими, знову ж таки, поступаючись щільний зразок.

(Загальний результат для щільних зразків полягає в тому, що оскільки асимптотика заповнення дійсно є єдиною реалізацією просторового процесу, єдиний параметр справжньої варіограми (суперпопуляції), який можна послідовно оцінити, - це нахил у нуль, але прогнози стають все більш добрими. )

— АляскаРон
джерело

Чи знаєте ви, як довести це твердження? "для всіх субрегіонів області ϵ, для будь-якого ϵ> 0, ймовірність появи вибірки в субрегіоні наближається до 1, як n → ∞. Такий зразок щільний у домені."

ϵ

$\epsilon$

Чи знаєте ви з будь-яких паперів, де йдеться про те, що латинські гіперкуби асимптотично щільні?

Почнемо з визначення вибору вибірки з латинської гіперкуби, просто щоб зробити речі абсолютно зрозумілими та встановити позначення. Тоді ми можемо визначити заповнення асимптотики.

LHS

$\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$ $N \ge 1$ $\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$ $N^d$

c_{N} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{d}) = [l_{1} + i_{1} δ_{1} (N), l_{1} + (i_{1} + 1) δ_{1} (N)) \times \dots [l_{d} + i_{d} δ_{d} (N), l_{d} + (i_{d} + 1) δ_{d} (N)),

$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$

$0 \le i_j \lt N$ $j$

$N$ $S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

{i_{j}^{1}, i_{j}^{2}, \dots, i_{j}^{N}} = {1, 2, \dots, N}, j = 1, 2, \dots, d .

$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$

$d$ $2$ $N$ $S$ $N$

X (N) = {(Z_{1}^{N}, Y_{1}^{N}), \dots, (Z_{N}^{N}, Y_{N}^{N})}

$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$ значень (розташування, спостереження)

Заповнення асимптотики

$t_N$ $X(N)$ $N$ $\mathcal{B}$ $t_N(X(N))$ $N$

t_{1} (X (1)), t_{2} (X (2)), \dots, t_{N} (X (N)), \dots

$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$

$N$

— дзижчати
джерело