Очікуване значення iid випадкових змінних

Я натрапив на це виведення, яке я не розумію: Якщо - випадкові вибірки розміру n, взяті з сукупності середніх та дисперсії , то μ σ $X_1, X_2, ..., X_n$$\mu$$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

Тут я загубився. Використовуваний аргумент - оскільки вони однаково розподілені. Насправді це неправда. Припустимо, у мене є зразок, і якщо випадковим чином вибрати 2 числа із заміною і повторити цю процедуру 10 разів, то я отримую 10 зразків: (5, 4) (2, 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). Так виглядає для двох випадкових змінних . Тепер, якщо я беру очікуване значення я отримую,S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 $E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$X $X_1, X_2$$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

Але очікувана цінність населення - 3,5. Що насправді неправильно в моїх міркуваннях?

Перш за все, не є зразками. Це випадкові змінні, як вказував Тім. Припустимо, ви проводите експеримент, в якому оцінюєте кількість води в харчовому продукті; для цього ви говорите 100 вимірювань вмісту води для 100 різних харчових продуктів. Кожен раз, коли ви отримуєте значення вмісту води. Тут вміст води є випадковим змінним, і тепер припустимо, що в світі налічувалося 1000 продуктів харчування. 100 різних харчових продуктів будуть називатися зразком цих 1000 харчових продуктів. Зауважте, що вміст води є випадковою змінною і 100 отриманих значень вмісту води складають вибірку. $X_1, X_2,...,X_n$

Припустимо, ви безладно вибираєте n значень з розподілу ймовірностей незалежно та однаково. Дається, що . Тепер ви повинні з'ясувати , очікуване значення ˙ X . Оскільки кожен з X i є незалежним та однаковою вибіркою, очікуване значення кожного з X i становить μ . Тому ви отримуєте n $E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$.$\frac{n\mu}{n} =\mu$

Третє рівняння у вашому запитанні є умовою для того, щоб оцінювач був неупередженим оцінкою параметра сукупності. Умовою неупередженості оцінювача є

$\bar{\theta}$

$\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$. Питання полягає в тому, як би ви оцінили середній показник чисельності населення за цією вибіркою. Згідно з вищезгаданою формулою, середнє значення для вибірки є неупередженим оцінювачем середньої сукупності. Об'єктивний оцінювач не повинен дорівнювати фактичній середній величині, але він настільки ж близький до значення, наскільки ви можете отримати цю інформацію.