Візуалізуйте біваріантний біноміальний розподіл

Запитання: як виглядає двовимірний біноміальний розподіл у тривимірному просторі?

Нижче наведена конкретна функція, яку я хотів би візуалізувати для різних значень параметрів; а саме , і . $n$ $p_{1}$ $p_{2}$

f (x_{1}, x_{2}) = \frac{n!}{x_{1}! x_{2}!} p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}}, x_{1} + x_{2} = n, p_{1} + p_{2} = 1.

$f(x_{1},x_{2}) = \frac{n!}{x_{1}!x_{2}!}p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}, \qquad x_{1}+x_{2}=n, \quad p_{1}+p_{2}=1.$

Зауважте, що є два обмеження; і . Крім того, - натуральне число, скажімо, . $x_{1}+x_{2}=n$ $p_{1}+p_{2}=1$ $n$ $5$

Зробили дві спроби побудувати функцію за допомогою LaTeX (TikZ / PGFPLOTS). Роблячи так, я отримую графіки нижче для таких значень: , і , і, , і відповідно. Я не мав успіху в застосуванні обмеження на значення домену; , тому я трохи спотикався. $n=5$ $p_{1}=0.1$ $p_{2}=0.9$ $n=5$ $p_{1}=0.4$ $p_{2}=0.6$ $x_{1}+x_{2}=n$

Візуалізація, створена будь-якою мовою, буде добре (R, MATLAB тощо), але я працюю в LaTeX з TikZ / PGFPLOTS.

Перша спроба

$n=5$ , $p_{1}=0.1$ і $p_{2}=0.9$

Друга спроба

$n=5$ , $p_{1}=0.4$ і $p_{2}=0.6$

Редагувати:

Для довідки, ось стаття, що містить деякі графіки. Заголовок статті - "Новий біваріантний біноміальний розподіл" Атану Бісваса та Цзін-Шианг Хванга. Статистика та ймовірнісні листи 60 (2002) 231–240.

Редагування 2: Для наочності та у відповідь на @GlenB в коментарях нижче наведено короткий знімок того, як мені було представлено дистрибутив у моїй книзі. Книга не стосується вироджених / невироджених випадків тощо. Він просто представляє це так, і я прагнув його візуалізувати. Ура! Також, як вказував @JohnK, існує ймовірність помилки друку стосовно x1 + x1 = 1, яка, на його думку, повинна бути x1 + x1 = n.

Зображення рівняння від:

Спанос, А. (1986) Статистичні основи економетричного моделювання. Cambridge University Press

— Graeme Walsh
джерело

Але це не повинно бути суцільним, чи не так? Обидві випадкові величини дискретні.

— ДжонК

Тож x1 та x2 є незалежними, чи не так? Вам потрібен псевдо-3D сюжет? Чи допустима б теплова карта?

— gung - Відновіть Моніку

щось подібне ?

— Антоні Пареллада

@JohnK Якщо і ви маєте справу з (а - просто ). Це однофакторний двочлен (або, вважається двоваріантним, він вироджений ).

x_{1} + x_{2} = n

$x_1+x_2=n$

p_{1} + p_{2} = 1

$p_1+p_2=1$

X_{1} \sim Binomial (n, p_{1})

$X_1\sim \text{Binomial}(n,p_1)$

X_{2}

$X_2$

n - X_{1}

$n-X_1$

— Glen_b -Встановіть Моніку

У вашому запитанні немає специфікації двовимірного двочлена. (Існує більше ніж один спосіб вказати біваріантний розподіл, який, правдоподібно, можна назвати "двочленним". У вас немає жодного з них, хоча ваш вироджений був би особливим випадком деяких з них.) ... малюнки в Ваша довідка Biswasa & Hwang не підходить для відображення дискретного двовимірного pmf. Коротше кажучи, ваше запитання не має нічого , щоб малювати, і ваша посилання корисна в основному в якості прикладу того , що б уникнути.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Відповіді:

До цього є дві частини: спочатку потрібно розібратися, що таке індивідуальні ймовірності, потім потрібно якось побудувати їх.

Біноміальний ПМФ - це лише сукупність ймовірностей для ряду "успіхів". Біваріантний біноміальний PMF буде набором ймовірностей над сіткою можливих комбінацій «успіхів». У вашому випадку у вас , тому (маючи на увазі, що успіхів - це можливість), існує можливих результатів в сітковому / двовимірному двочленному розподілі. $n_i = n_j = 5$ $0$ $6\times 6 = 36$

Ми можемо спочатку обчислити граничні біноміальні ПМФ, оскільки це так просто. Оскільки змінні є незалежними, кожна спільна ймовірність буде просто добутком граничних ймовірностей; це матрична алгебра. Тут я демонструю цей процес за допомогою Rкоду:

b1 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.1);  sum(b1)  # [1] 1
b9 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.9);  sum(b9)  # [1] 1
b4 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.4);  sum(b4)  # [1] 1
b6 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.6);  sum(b6)  # [1] 1

b19 = b1%o%b9;  sum(b19)  # [1] 1
rownames(b19) <- colnames(b19) <- as.character(0:5)
round(b19, 6)
#       0        1        2        3        4        5
# 0 6e-06 0.000266 0.004783 0.043047 0.193710 0.348678
# 1 3e-06 0.000148 0.002657 0.023915 0.107617 0.193710
# 2 1e-06 0.000033 0.000590 0.005314 0.023915 0.043047
# 3 0e+00 0.000004 0.000066 0.000590 0.002657 0.004783
# 4 0e+00 0.000000 0.000004 0.000033 0.000148 0.000266
# 5 0e+00 0.000000 0.000000 0.000001 0.000003 0.000006
b46 = b4%o%b6;  sum(b46)  # [1] 1
rownames(b46) <- colnames(b46) <- as.character(0:5)
round(b46, 3)
#       0     1     2     3     4     5
# 0 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 1 0.003 0.020 0.060 0.090 0.067 0.020
# 2 0.004 0.027 0.080 0.119 0.090 0.027
# 3 0.002 0.018 0.053 0.080 0.060 0.018
# 4 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 5 0.000 0.001 0.002 0.004 0.003 0.001

На даний момент ми маємо дві необхідні матриці ймовірностей. Нам просто потрібно вирішити, як ми хочемо їх побудувати. Якщо чесно, я не є великим шанувальником діаграм 3D барів. Оскільки, Rздається, згодні зі мною, я зробив такі сюжети в Excel:

b19:

b46:

— gung - Відновити Моніку
джерело

Дякуємо за презентацію плюс код R. Це змушує мене запитати про x1 + x2 = n. Якщо ця умова виконується, чи повинен бути лише один рядок стовпів, як це представлено тут: reference.wolfram.com/language/ref/MultinomialDistribution.html Графік вольфрама, який я припускаю, - це те, що @Glen_b називає виродженим випадком? Чи означає це, що ви представили вироджений випадок?

— Graeme Walsh

GraemeWalsh, моя презентація не показує двовимірного двочлена, де x1 + x2 = n. Як @Glen_b широко обговорював у коментарях та його відповіді, я б дійсно не називав, що "двовимірний біноміальний розподіл" не кваліфікує це. Більше того, це означало б, що x1 & x2 не є незалежними, як ви сказали у коментарі до відповіді, а повністю залежні. По правді кажучи, я не помітив, що це такий химерний варіант (ви можете звинуватити мене в тому, що я не читав достатньо уважно). Як показав Glen_b, ця версія буде єдиною лінією стовпів. Що я представив, це випадок, що не вироджений.

— gung - Відновіть Моніку

@gung Мені подобаються твої нові сюжети. Я вважаю, що ваша дискусія чудово охоплює вироджений випадок ("вам потрібно розібратися, що таке індивідуальні ймовірності" насправді все говорить; фактичні розрахунки для виродженого випадку тривіальні); Я щойно провів ці банальні розрахунки.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Відповідь Гунга - це хороша відповідь на фактичний двоманійний двочлен, який добре пояснює питання (я б рекомендував прийняти його як гарну відповідь на головне питання, швидше за все, корисний для інших).

$x_1$ $n$

Тож давайте правильно визначимо речі. Зауважте, що визначення випадкової величини насправді не пропонується, тому ми залишаємося з певними здогадами.

$Y_1\sim \text{binomial}(n,p_1),\:$ $P(Y_1=y_1)$ $y_1$ $y_1=0,1,...,n$ $X_1=Y_1/n$ $x_1=0,\frac16,\frac26,...,1$

$P(X_1=x_1)$ $x_2=n-x_1$ $p_2=1-p_1$

$n=6,p_1=0.3$

$x_2$ $x_1$ $1-x_1$ $x_2$

Ми можемо розцінювати це як (масштабний) вироджений двоманійний двочлен:

але це трохи розтягнення, щоб насправді називати те, що визначено в книзі, двомаріальним двочленним (оскільки це фактично односхилий двочлен).

За припущенням, що хтось захоче генерувати подібний сюжет до 3D, цей невеликий (R) код стає досить близьким до другого сюжету вище:

y = 0:6
x1 = y/6
x2 = 1-x1
p = dbinom(y,6,.3)
scatterplot3d(x1,x2,p,grid=TRUE, box=FALSE, cex.lab=1.2,
        color=3, cex.main=1.4,pch=21,bg=1,, type="h",angle=120,
        main="degenerate scaled binomial", ylab="x2", xlab="x1", 
        zlab="prob")

(Вам потрібен scatterplot3dпакет, який містить однойменну функцію.)

"Справжній" (не вироджений) двомаріатний двочлен має варіацію обох змінних одночасно. Ось приклад одного конкретного виду двовимірного двочлена (не незалежного в даному випадку). Я вдався до використання різних кольорів у сюжеті, тому що занадто легко загубитися в лісі «палицями» інакше.

$X\sim\text{bin}(n_0,p)$ $Y\sim\text{bin}(n_y,p)$ $Z\sim\text{bin}(n_z,p)$ $X_1=X+Y$ $X_2=X+Z$

$X_1$ $X_2$

$n_0$ $n_y$ $n_z$ $=X$ $x_1=x_2$ $x_1+x_2=n$

[1]: Хамдан, М.А. (1972),
"Канонічне розширення біваріантного біноміального розподілу нерівними граничними показниками"
Міжнародний статистичний огляд , 40 : 3 (грудень), стор 277-280

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

c o r r (X_{1}, X_{2}) = - 1

$corr(X_1, X_2) = -1$

Glen_b. Велике спасибі. Вказуючи, що математичний об’єкт, який я представив (який мені подарували!), Є (зменшеним) виродженим двомариальним двочленним дуже корисним! Я не знав цього з самого початку. Нарешті, елементарний запит! Чи можна було б вам чітко (шляхом математичного позначення) про те, як ви визначаєте справжній чи фактичний двовимірний двочлен? Це було б корисно, я думаю.

— Graeme Walsh

X \sim bin (n_{0}, p)

$X\sim\text{bin}(n_0,p)$

Y \sim bin (n_{y}, p)

$Y\sim\text{bin}(n_y,p)$

Z \sim bin (n_{z}, p)

$Z\sim\text{bin}(n_z,p)$

X_{1} = X + Y

$X_1=X+Y$

X_{2} = X + Z

$X_2=X+Z$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

@Graeme ... Планую додати ще кілька деталей.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Mathematicaзараз досить сильний у таких речах - це вирішення вашої проблеми прямо в документації . З невеликими доповненнями я створив модель для розігрування ( p = p1 = 0.4для кращого візуального представлення). Ось як виглядає інтерфейс і яким чином ним можна керувати.

Знімок

Manipulate[
 Grid[{
   {DiscretePlot3D[
     PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right],

    DiscretePlot3D[
     CDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right]}
   }]
 ,
 {{n, 5}, 1, 20, 1, Appearance -> "Labeled"},
 {{p, 0.4}, 0.1, 0.9},
 TrackedSymbols -> True
 ]

Тут PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}]я думаю, що тут головне . Multinomialпросто означає, що ви можете взяти багато дистрибутивів piдля кожної відповідної змінної. Проста форма така BinomialDistribution. Звичайно, я міг би зробити це вручну, але правило - якщо у вас є вбудована функція - ви повинні використовувати її.

Якщо вам потрібні коментарі щодо структури коду, будь ласка, дайте мені знати.

— garej
джерело