Очікувана кількість невидимих ​​карт під час малювання карт з колоди розміром

У нас колода з карт. Ми малюємо з нього картки рівномірно випадково із заміною. Після того, як розіграє, яку очікувану кількість карт не вибирають ніколи?2 $n$$2n$

Це питання є частиною 2 проблеми 2.12 в

М. Мітценмахер та Е. Упфаль, Вірогідність та обчислення: рандомізовані алгоритми та ймовірнісний аналіз , Кембриджський університетський прес, 2005.

Крім того, для чого це варто, це не проблема домашнього завдання. Це самонавчання, і я просто застряг.

Моя відповідь поки що:

Нехай - кількість відокремлених карток після го розіграшу. Тоді:$X_i$$i$

$E[X_i] = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k (\frac{k}{n}P(X_{i-1}=k) + \frac{n-k-1}{n} P(X_{i-1}=k-1))$

Ідея тут полягає в тому, що кожен раз, коли ми малюємо, ми або малюємо карту, яку ми бачили, або ми малюємо картку, яку ми не бачили, і що ми можемо це визначати рекурсивно.

Нарешті, відповідь на питання, скільки ми не бачили після розіграшів, буде .n - E [ X 2 n$2n$$n-E[X_{2n}]$

Я вважаю, що це правильно, але що повинно бути більш просте рішення.

Будь-яка допомога буде дуже вдячна.

Підказка: При будь-якому розіграші ймовірність того, що картка не буде обрана, є . А оскільки ми малюємо із заміною, я припускаю, що ми можемо сказати, що кожен розіграш не залежить від інших. Тож ймовірність того, що картка не буде обрана в розіграші, є ...2 $\frac{n-1}{n}$$2n$

Дякую Майку за підказку.

Це те, що я придумав.

Нехай - випадкова величина Бернуллі, де якщо карта ніколи не була намальована. Тоді , але оскільки однаковий для всіх , нехай .$X_i$$X_i = 1$$i^{th}$$p_i = P(X_i=1) = (\frac{n-1}{n})^{2n}$$p_i$$i$$p=p_i$

Тепер нехай - кількість карток, не намальованих після розіграшів.$\displaystyle X = \sum_{i=1}^n X_i$$2n$

Тоді$\displaystyle E[X] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n p = np$

І це так, я думаю.

Ось декілька код R для підтвердження теорії.

evCards <- function(n) 
{
    iter <- 10000;
    cards <- 1:n;
    result <- 0;
    for (i in 1:iter) {
        draws <- sample(cards,2*n,T);
        uniqueDraws <- unique(draws,F);
        noUnique <- length(uniqueDraws);
        noNotSeen <- n - noUnique;
        result <- result + noNotSeen;
    }
    simulAvg <- result/iter;
    theoryAvg <- n * ((n-1)/n)^(2*n);
    output <-list(simulAvg=simulAvg,theoryAvg=theoryAvg);
    return (output);
}