У нас є випадковий експеримент з різними результатами, що формують пробний простір на якому ми з цікавістю дивимось на певні шаблони, звані подіямиСигма-алгебри (або сигма-поля) складаються з подій, яким може бути призначений міра ймовірності . Виконуються певні властивості, включаючи включення нульового набору та всього вибіркового простору та алгебри, яка описує об'єднання та перетини діаграм Венна.$\Omega,$ $\mathscr{F}.$ $\mathbb{P}$$\varnothing$

Ймовірність визначається як функція між алгеброю та інтервалом . Загалом, потрійний утворює ймовірнісний простір .$\sigma$$[0,1]$$(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$

Чи може хтось пояснити простою англійською мовою, чому ймовірність споруди зруйнується, якщо у нас не буде -алгебра? Вони просто закріплені посередині з тією неможливою каліграфічною "F". Я вірю, що вони необхідні; Я бачу, що подія відрізняється від результату, але що пішло б без знаків -алгебри?$\sigma$$\sigma$

Питання: У якому типі проблем ймовірності визначення простору ймовірностей, включаючи -алгебра, стає необхідністю?$\sigma$

Цей онлайн-документ на веб-сайті Дартмутського університету дає просте англійське доступне пояснення. Ідея полягає в обертовому покажчику, що обертається проти годинникової стрілки по колу одиничного периметра:

Почнемо з побудови спіннера, який складається з кола одиничної окружності та вказівника, як показано на рисунку [the]. Вибираємо точку на колі і позначаємо її , а потім позначуємо кожну іншу точку на колі з відстані, скажімо, , від до цієї точки, вимірюваної проти годинникової стрілки. Експеримент складається з обертання вказівника і запису мітки точки на кінчику вказівника. Нехай випадкова величина позначає значення цього результату. Простір вибірки - це чітко проміжок [ 0 , 1 )$0$$x$$0$$X$$[0,1)$. Ми хотіли б побудувати модель вірогідності, в якій кожен результат однаковою мірою має місце. Якщо ми будемо діяти так, як ми це робили [...] для експериментів з кінцевою кількістю можливих результатів, тоді ми повинні призначити ймовірність $0$ кожному результату, оскільки в іншому випадку сума ймовірностей за всіма можливими результатами не буде дорівнює 1. (Насправді підсумовування незліченної кількості реальних чисел - справа хитра; зокрема, для того, щоб така сума мала будь-яке значення, максимум, підрахунок багатьох сум може бути різним, ніж $0$ ) Однак, якщо всі призначені ймовірності дорівнюють $0$ , тоді сума дорівнює $0$ , а не $1$ , як має бути.

Отже, якщо ми присвоїли кожній точці будь-яку ймовірність і враховуючи, що існує (незліченна) кількість нескінченних балів, їх сума складе до $> 1$ .

На перший погляд Сіань: Коли ви говорите про -алгебри, ви запитуєте про вимірювані множини, тому, на жаль, будь-яка відповідь повинна зосереджуватися на теорії мір. Я спробую до цього налаштувати м'яко.$\sigma$

Теорія ймовірності, що допускає всі підмножини незліченних множин, порушить математику

Розглянемо цей приклад. Припустимо, у вас є одиничний квадрат у , і вас цікавить ймовірність випадкового вибору точки, що є членом певного набору в одиничному квадраті. За багатьох обставин це можна легко відповісти на основі порівняння областей різних наборів. Наприклад, ми можемо намалювати деякі кола, виміряти їх площі, а потім взяти ймовірність як частку квадрата, що падає на коло. Дуже просто.$\mathbb{R}^2$

Але що робити, якщо область набору інтересів недостатньо визначена?

Якщо територія не є чітко визначеною, то ми можемо обґрунтувати два різні, але цілком справедливі (у певному сенсі) висновки про те, що таке область. Таким чином, ми могли мати з одного боку, а P ( A ) = 0 з іншого, що означає 0 = 1 . Це зводить всю математику після ремонту. Тепер ви можете довести 5 < 0 та ряд інших безглуздих речей. Зрозуміло, це не надто корисно.$P(A)=1$$P(A)=0$$0=1$$5<0$

-алгебри - це патч, який фіксує математику$\sigma$

Що саме -алгебра? Насправді це не так страшно. Це просто визначення, які набори можуть розглядатися як події. Елементи не в F просто не мають визначеної міри ймовірності. В основному, σ -алгебри - це "латка", яка дозволяє нам уникати деяких патологічних поведінок математики, а саме немірних множин.$\sigma$$\mathscr{F}$$\sigma$

Три вимоги поля поля можна вважати наслідками того, що ми хотіли б зробити з імовірністю: A σ- поле - це множина, яка має три властивості:$\sigma$$\sigma$

1. Закриття під лічильними спілками.
2. Закриття під лічильними перехрестями.
3. Закриття під доповнення.

Обчислювальні об'єднання та компоненти перелічних перетинів є прямими наслідками проблеми, що не підлягає вимірюванню. Закриття під комплементами є наслідком аксіом Колмогорова: якщо , Р ( з ) повинен бути 1 / 3 . Але без (3) може статися, що P ( A c ) не визначений. Це було б дивно. Закриття під доповненнями і аксіоми Колмогорова дозволяють сказати такі речі, як P ( A ∪ A c ) = P $P(A)=2/3$$P(A^c)$$1/3$$P(A^c)$ .$P(A\cup A^c)=P(A)+1-P(A)=1$

Нарешті, ми розглядаємо події стосовно , тому вимагаємо, щоб Ω ∈ $\Omega$$\Omega\in\mathscr{F}$

Хороша новина: -алгебри строго необхідні лише для незлічуваних множин$\sigma$

Але! Тут є і хороші новини. Або, принаймні, спосіб спідниці питання. Нам потрібні лише -алгебри, якщо ми працюємо в наборі з незліченною кардинальністю. Якщо ми обмежимося рахункових множин, то ми можемо взяти F = 2 Ом булеана Ом , і ми не будемо мати будь-який з цих проблем , тому що для рахункового Ом , 2 Ω складається тільки з вимірних множин. (Про це йдеться у другому коментарі Сіаня.) Ви помітите, що деякі підручники насправді тут будуть робити тонкий хист рук, і розглядають лише налічувані набори при обговоренні просторів ймовірностей.$\sigma$$\mathscr{F}=2^\Omega$$\Omega$$\Omega$$2^\Omega$

Крім того, в геометричних задачах цілком достатньо лише розглянути σ -алгебри, складені з множин, для яких визначено міру L n . Щоб обґрунтувати це дещо міцніше, L n при n = 1 , 2 , 3 відповідає звичайним поняттям довжини, площі та об’єму. Тож, що я говорю в попередньому прикладі, це те, що для множини має бути чітко визначена область, щоб йому була призначена геометрична ймовірність. І причина така: якщо ми визнаємо немірні множини, то ми можемо опинитися в ситуаціях, коли ми можемо призначити ймовірність 1 до якоїсь події на основі деякого доказу, а ймовірність 0 до$\mathbb{R}^n$$\sigma$$\mathcal{L}^n$$\mathcal{L}^n$$n=1,2,3$та сама подія, що базується на деяких інших доказах.

Але не дозволяйте з’єднати вас з незлічуваними наборами! Поширене неправильне уявлення про те, що -алгебри - це підрахункові множини. Насправді вони можуть бути рахунковими чи незлічуваними. Розглянемо цю ілюстрацію: як і раніше, у нас є одиниця квадрата. Визначте F = всі підмножини одиничного квадрата з визначеною   мірою L 2 . Можна намалювати квадрат B з довжиною сторони s для всіх s ∈ ( 0 , 1 ) та одним кутом у ( 0 , 0 $\sigma$

Отже, як практичне питання, просто зробити це спостереження досить часто, щоб зробити спостереження, що ви вважаєте лише вимірювані набори Лебега, щоб досягти прогресу проти проблеми, що цікавить.

Але зачекайте, що таке немірний набір?

Боюся, що я можу лише пролити про це трохи світла. Але парадокс Банах-Тарскі (іноді парадокс "сонця і гороху") може нам допомогти:

Враховуючи суцільний кулю в тривимірному просторі, існує розкладання кулі на кінцеве число нерозділених підмножин, які потім можуть бути складені назад по-іншому, щоб отримати дві однакові копії оригінального кулі. Дійсно, процес повторної збірки передбачає лише переміщення шматочків навколо та обертання їх, не змінюючи їх форми. Однак самі шматки не є «твердими речовинами» у звичному розумінні, а нескінченним розсипом очок. Реконструкція може працювати якнайменше п’ять штук.

Більш сильна форма теореми передбачає, що з урахуванням будь-яких двох «розумних» твердих предметів (таких як маленька куля та величезна куля), або один може бути перекомпільований в інший. Це часто неофіційно заявляється як "горох можна подрібнити і зібрати на Сонце" і називати "парадоксом гороху та Сонця". 1

Отже, якщо ви працюєте з ймовірностями в і використовуєте геометричну міру ймовірності (відношення об'ємів), ви хочете розробити ймовірність якоїсь події. Але ви будете намагатися точно визначити цю ймовірність, тому що можете змінити набори свого простору для зміни обсягів! Якщо ймовірність залежить від гучності, і ви можете змінити об'єм набору на розмір сонця або розмір гороху, то ймовірність також зміниться. Таким чином, жодна подія не матиме єдиної ймовірності, що приписується їй. Ще гірше, ви можете переставити S ∈ Ω таким чином, що об'єм S має V ( S ) > V ( Ω $\mathbb{R}^3$$S\in\Omega$$S$$V(S)>V(\Omega)$, з чого випливає, що геометрична міра ймовірності повідомляє про ймовірність , при грубому порушенні аксіом Колмогорова, які вимагають, щоб ця ймовірність мала міру 1.$P(S)>1$

Щоб вирішити цей парадокс, можна зробити одну з чотирьох поступок:

1. Гучність набору може змінюватися при його обертанні.
2. Об'єм об'єднання двох розрізнених множин може бути різним від суми їх об'ємів.
3. Аксіоми теорії множин Зермело-Френкеля з аксіомою Вибору (ZFC), можливо, доведеться змінити.
4. Деякі набори можуть бути позначені "не вимірюваними", і потрібно перевірити, чи є набір "вимірюваним", перш ніж говорити про його обсяг.

Варіант (1) не допомагає використовувати ймовірності визначення, тому його немає. Варіант (2) порушує другу аксіому Колмогорова, тому він вийшов. Варіант (3) здається жахливою ідеєю, оскільки ZFC виправляє набагато більше проблем, ніж створює. Але варіант (4) здається привабливим: якщо ми розробимо теорію того, що є, а що не піддається вимірюванню, тоді ми матимемо чітко визначені ймовірності в цій проблемі! Це повертає нас до вимірювання теорії, а нашого друга -алгебра.$\sigma$

Основна ідея (в дуже практичному плані) проста. Припустимо, ви статистик, який працює з деяким опитуванням. Припустимо, в опитуванні є деякі питання щодо віку, але лише попросіть респондента визначити його вік через певні проміжки часу, наприклад . Давайте забудемо інші питання. Ця анкета визначає "простір події", ваш ( Ω , F ) . Алгебра сигми $[0,18), [18, 25), [25,34), \dots$$(\Omega,F)$$F$кодифікує всю інформацію, яку можна отримати з анкети, тому для питання віку (а зараз ми ігноруємо всі інші запитання) він буде містити інтервал але не інші інтервали, як [ 20 , 30 ) , оскільки з інформації, отриманої в анкеті, ми не можемо відповісти на запитання на кшталт: вік респондентів належить до [ 20 , 30 ) чи ні? Більш загально, множина - це подія (належить до F ), якщо і лише тоді, коли ми можемо вирішити, належить чи вибіркова точка до цього набору чи ні.$[18,25)$$[20,30)$$[20,30)$$F$

Тепер визначимо випадкові величини зі значеннями у просторі другої події . Як приклад, візьмемо це як справжня лінія зі звичайною (Борелевою) сигмою-алгеброю. Тоді (нецікава) функція, яка не є випадковою змінною, є f : "вік респондентів - просте число", кодуючи це як 1, якщо вік є простим, 0 іншим. Ні, f - 1 ( 1 ) не належать до F , тому f не є випадковою величиною. Причина проста, ми не можемо визначитись із інформації в анкеті, чи вік респондента простий чи ні! Тепер ви можете зробити ще цікавіші приклади. $(\Omega', F')$$f:$$f^{-1}(1)$$F$$f$

$F$$F$$A$$B$$A \cap B$$A \cup B$. Тепер, вимагаючи закритості для лічильних перехресть та союзів, ми можемо задавати обчислювальні сполучники чи диз'юнкції. І, заперечуючи питання, представлений додатковим набором. Це дає нам сигма-алгебру.

Таке вступ я побачив спочатку в дуже хорошій книзі Пітера Віттла "Ймовірність через очікування" (Спрінгер).

EDIT

$i$$i$$\sigma$$\sigma$$n$$\sigma$$n$$\sigma$

Але чи насправді потрібен сильний закон великої кількості? Відповідно до однієї відповіді тут , можливо, ні.

$n$$n$

$\sigma$

$\sigma$

$\sigma$$A \cup B$$(A\cup B)\cap C$

Перша аксіома полягає в тому, що ∅, 𝑋∈𝜎. Добре, Ви ВЖЕ знаєте ймовірність того, що нічого не відбудеться (0) або щось станеться (1).

Друга аксіома закрита під доповненнями. Дозвольте запропонувати дурний приклад. Знову ж таки, розглянемо фліп монети з 𝑋 = {𝐻, 𝑇}. Прикиньтесь, я скажу вам, що ge алгебра для цього фліпу - {∅, 𝑋, {𝐻}}. Тобто я знаю ймовірність того, що НІЧОГО не трапиться, НЕЩО трапиться, і голови, але Я НЕ знаю ймовірності хвостів. Ти б справедливо назвав мене дебілом. Тому що якщо ви знаєте ймовірність голови, ви автоматично знаєте ймовірність хвостів! Якщо ви знаєте ймовірність того, що щось трапиться, ви знаєте ймовірність того, що НЕ відбудеться (доповнення)!

Остання аксіома закрита під лічильними союзами. Дозвольте навести ще один дурний приклад. Розглянемо рулон штампів або 𝑋 = {1,2,3,4,5,6}. Що робити, якби я сказав вам, що алгебра для цього є {∅, 𝑋, {1}, {2}}. Тобто я знаю ймовірність катання 1 або прокатки 2, але я не знаю ймовірності прокатки 1 або 2. Знову, ви б обґрунтовано називали мене ідіотів (сподіваюся, причина зрозуміла). Те, що відбувається, коли множини не є непересічними, і те, що відбувається з незлічуваними спілками, є дещо грізнішим, але я сподіваюся, що ви можете спробувати придумати деякі приклади.

$\sigma$

Ну, це не зовсім чіткий випадок, але є кілька солідних причин .

Навіщо імовірнісникам потрібні заходи?

$\sigma$$\sigma$$P$

Люди приносять набір Віталія та Банах-Тарскі, щоб пояснити, для чого вам потрібна теорія вимірювань, але я думаю, що це вводить в оману . Набір Віталія відпадає лише для (нетривіальних) заходів, які є інваріантними для перекладу, яких простори ймовірностей не потребують. А Банах-Тарскі вимагає повороту-інваріантності. Люди, які займаються аналізом, дбають про них, але ймовірнісівники насправді цього не роблять .

Сенс існування теорії міри в теорії ймовірностей є уніфікувати обробку дискретних і безперервних RVs, і , крім того, дозволяє RVs, які змішуються і RVs, які просто ні.