Приклади реального життя різниці між незалежністю та кореляцією

Добре відомо, що незалежність випадкових величин передбачає нульову кореляцію, але нульова кореляція не потребує незалежності.

Я натрапив на безліч математичних прикладів, що демонструють залежність, незважаючи на нульову кореляцію. Чи є приклади реального життя, які підтверджують цей факт?

Прибутковість запасів - гідний приклад реального життя того, про що ви просите. Існує дуже близька до нульової кореляції між сьогоднішнім та вчорашнім поверненням S&P 500. Однак існує чітка залежність: повернення у квадраті є позитивно автокорельованими; періоди підвищеної мінливості кластеризовані у часі.

R код:

library(ggplot2)
library(grid)
library(quantmod)

symbols   <- new.env()
date_from <- as.Date("1960-01-01")
date_to   <- as.Date("2016-02-01")
getSymbols("^GSPC", env=symbols, src="yahoo", from=date_from, to=date_to)  # S&P500

df <- data.frame(close=as.numeric(symbols$GSPC$GSPC.Close),
                 date=index(symbols$GSPC))
df$log_return     <- c(NA, diff(log(df$close)))
df$log_return_lag <- c(NA, head(df$log_return, nrow(df) - 1))

cor(df$log_return,   df$log_return_lag,   use="pairwise.complete.obs")  # 0.02
cor(df$log_return^2, df$log_return_lag^2, use="pairwise.complete.obs")  # 0.14

acf(df$log_return,     na.action=na.pass)  # Basically zero autocorrelation
acf((df$log_return^2), na.action=na.pass)  # Squared returns positively autocorrelated

p <- (ggplot(df, aes(x=date, y=log_return)) +
      geom_point(alpha=0.5) +
      theme_bw() + theme(panel.border=element_blank()))
p
ggsave("log_returns_s&p.png", p, width=10, height=8)

Зберігання журналів часу на S&P 500:

Якби повернення були незалежними протягом часу (і стаціонарними), було б малоймовірно побачити ті зразки кластерної мінливості, і ви б не побачили автокореляцію в квадратних поверненнях журналу.

Інший приклад - взаємозв'язок між стресом та оцінкою на іспиті. Зв'язок має зворотну форму U, а кореляція дуже низька, хоча причинно-наслідковий зв’язок здається досить чітким.