Зв'язок між дисперсією та попарними відстанями в межах змінної

Будь ласка, доведіть, що якщо у нас є дві змінні (однаковий розмір вибірки) і і дисперсія в більша, ніж у , то сума квадратних різниць (тобто квадратних евклідових відстаней) між точками даних у межах також більша, ніж що в . $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
джерело

Будь ласка, уточніть: коли ви говорите дисперсію , ви маєте на увазі відмінність вибірки ? Коли ви говорите суму різниць у квадраті , ви маєте на увазі ?

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— кардинал

Припустимо вищесказане: ретельно враховуючи елементи в перехресній перспективі. Я думаю, ви можете заповнити (невеликі прогалини). Потім результат тривіально випливає.

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— кардинал

Існує також спосіб зробити це "без" будь-яких обчислень, враховуючи той факт, що якщо і є iid від (з чітко визначеною дисперсією), то . Однак це потребує дещо більш чіткого розуміння ймовірних концепцій.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— кардинал

Для відповідного запитання я використав візуалізацію того, що тут відбувається у відповіді на stats.stackexchange.com/a/18200 : різниці у квадраті - це області квадратів.

— whuber

@whuber: Дуже приємно. Я якось пропустив цю вашу відповідь по дорозі.

— кардинал

Просто надати "офіційну" відповідь, доповнити рішення, замальовані в коментарях, повідомлення

Жоден з , , або не змінюється зміщенням усіх рівномірно до для деякої постійної або зміщення всього $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ до для деякої постійної . Таким чиномми можемо припустититакі зрушення були виконаніщоб зробити , звідки і . $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
Після очищення загальних факторів з кожної сторони та використання (1) питання задає питання про те, що означає . $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$
Просте розширення квадратів і перестановка сум дають з аналогічним результатом для 's.
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ $Y$

Доказ негайний.

— дзижчати
джерело