Що означає інтегрувати через випадкову міру?

Я зараз переглядаю статтю моделі випадкових ефектів процесу Діріхле, і специфікація моделі така:

\begin{aligned} у_{i} & = Х_{i} β + ψ_{i} + ϵ_{i} \\ ψ_{i} & \sim Г \\ Г & \sim D П (α, Г_{0}) \end{aligned}

$\begin{align*}y_{i} &= X_{i}\beta + \psi_{i} + \epsilon_{i}\\ \psi_{i} &\sim G \\ G &\sim \mathcal{DP}\left(\alpha, G_{0}\right) \end{align*}$ де

α

$\alpha$ - параметр масштабу і

G_{0}

$G_{0}$ є базовим заходом. Згодом у статті пропонується інтегрувати функцію над базовою мірою

G_{0}

$G_{0}$ як от

\int f (у_{j} | θ, ψ_{j}) г Г_{0} (ψ_{j}) .

$\int f\left(y_{j}|\theta, \psi_{j}\right)\, dG_{0}\left(\psi_{j}\right).$ Чи є базовим показником у процесі Діріхле PDF або це pdf? Що станеться, якщо базовим показником є гаусс?

— Daeyoung Lim
джерело

Позначимо через $\mathcal{M}$ вимірюваний простір імовірнісних заходів, що містить реалізацію процесу Діріхле. Випадкова міра ймовірності $G$ є вимірюваною функцією

Г : ω \mapsto Г_{ω} \in М

$G : \omega \mapsto G_\omega \in \mathcal{M}$ і інтеграл щодо

G

$G$ - випадкова величина

\int f (\cdot | ψ) г Г (ψ) : ω \mapsto \int f (\cdot | ψ) г Г_{ω} (ψ) .

$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi) : \omega \mapsto \int f(\,\cdot\,|\,\psi) dG_\omega(\psi).$ Таким чином

\int f (\cdot | ψ) d G (ψ)

$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi)$ сам по собі випадковий pdf (якщо

f (\cdot | ψ)

$f(\cdot| \psi)$ є pdf).

Ідея така $\psi_i$ випливає деякий невідомий розподіл $G$ . У деяких випадках у вас можуть бути підстави вважати це $\psi_i$ зазвичай розподіляється, а потім ставлять пріоритет на середнє значення та дисперсію. В інших випадках ви не хочете робити такі параметричні припущення. Наприклад, у вашій моделі, попередній $G$ - це процес Діріхле.

Чи є базовим показником у процесі Діріхле PDF або це pdf?

Базова міра - це будь-яка міра ймовірності, яка зазвичай приймається для повного забезпечення. У деяких випадках вона може бути представлена функцією щільності ймовірності. Це не дуже важливо.

— Олів'є
джерело