Коли теоретично обгрунтовані змішані моделі з нульовою кореляцією?

Блок-цитата, наведена нижче, від лідерів в області моделювання змішаних ефектів, стверджує, що координаційні зрушення в моделях з нульовою кореляцією між випадковими ефектами ('ZCP' моделі) змінюють прогнози моделі. Але чи може хтось детальніше пояснити або додатково виправдати свої вимоги?

Заяви про які йде мова в Бейтс і ін в 2015 документ про lme4, монтажу лінійних змішаних ефектів моделі з допомогою lme4 , стор.7, другий абзац ( посилання для завантаження ). $\newcommand{\slope}{\text{slope}} \newcommand{\int}{\text{int}} \newcommand{\intercept}{\text{intercept}}$

Ось перефразовування того, що вони написали:

Хоча моделі нульових параметрів кореляції використовуються для зменшення складності моделей випадкових нахилів, вони мають один недолік. Моделі, в яких нахили та перехоплення дозволяють мати нульову кореляцію, інваріантні адитивним зрушенням суцільного предиктора.

Ця інваріантність руйнується, коли кореляція обмежена нулем; будь-який зсув прогноктора обов'язково призведе до зміни оціночної кореляції, а також ймовірності та прогнозів моделі. ¹ Наприклад, ми можемо усунути кореляцію в fm1, просто перемістивши Дні [ прогноза, що супроводжує ], на величину, що дорівнює відношенню розрахункових серед предметних стандартних відхилень, помножених на оцінене співвідношення, тобто ² , $\slope$

$ρ_{slope : intercept} \times \frac{σ_{slope}}{σ_{intercept}}$ $\rho_{\slope:\intercept}\times\frac{\sigma_{\slope}}{\sigma_{\intercept}}$
Застосування таких моделей в ідеалі має обмежуватися лише випадками, коли прогноктор вимірюється за шкалою співвідношення (тобто нульова точка на шкалі має значення, а не лише місце, визначене зручністю чи умовою).

Запитання:

Пронумеровано згідно з надписами вище ...

Я можу бачити, що будь-який зсув системи координат, за допомогою якого вимірюється предиктор, призведе до зміни оціночної кореляції, тим самим приводячи до ненульової кореляції. Це підтверджує твердження, що моделі параметрів нульової кореляції не є інваріантними при зрушеннях в системах координат предиктора, і тому будь-яка модель з ненульовими кореляціями випадкових ефектів може бути перетворена в модель з нульовими кореляціями відповідним зрушенням координат. Я думаю, що він також підтримує третій абзац у перефразовуванні вище: моделі ZCP (і нульові моделі перехоплення - див. Нижче; але, будь ласка, перевірте це ), дійсні лише для моделей, що використовують певні, спеціальні системи координат. Але чому для таких моделей слід прогнозувати зсув координати?

Наприклад, зміна координат також змінить термін перехоплення фіксованого ефекту для середніх груп (див. Нижче), але лише на величину, відповідну зміні походження для системи координат прогноктора. Така зміна не впливає на прогнозування моделі, якщо нова система координат використовується для зміщеного прогноктора.

Щоб уточнити, якщо нахил фіксованого ефекту, пов'язаний зі зміщеним предиктором, є позитивним, а початок координатної системи прогноктора зміщено в негативному напрямку, тоді перехоплення фіксованого ефекту зменшиться, і будь-який пов'язаний з ним перехоплення випадкових ефектів також зміниться відповідно, відображаючи нове визначення поняття "походження" (і, отже, перехоплювати) в зміщеній системі координат. До речі, я думаю, що це міркування також передбачає, що нульова модель перехоплення також не є інваріантною за таких зрушень.

Я думаю, що в мене є розумний спосіб опрацювати це, але я отримав відповідь дещо іншу, ніж Bates et al. Я кудись помиляюся?

Нижче моя відповідь. Далі йде опис того, як я дійшов до свого результату. Підсумовуючи висновок, я вважаю, що якщо я зміщу походження негативно на , так що в новій системі координат прогноктор приймає значення , то кореляція у новій системі координат дорівнює нулю, якщо: $x$ $\delta > 0$ $x' = x + \delta$ $\rho'$

$δ = ρ_{slope : intercept} \times \frac{σ_{intercept}}{σ_{slope}}$ $\delta=\rho_{\slope:\intercept}\times\frac{\sigma_{\intercept}}{\sigma_{\slope}}$
Це відрізняється від результату Bates et al .

Опис мого методу (необов'язкове читання) : Скажімо, у нас є кореляція двох випадкових ефектів та ( коротко), обидва відповідають одному і тому ж коефіцієнту групування з рівнями (пронумеровано , починаючи з до ). Скажемо також, що неперервний предиктор, з яким парний випадковий , називається , визначений таким чином, що добуток генерує умовний внесок у встановлене значення для рівня $\slope$ $\intercept$ $\int$ $k$ $i$ $1$ $k$ $\slope$ $x$ $x\times\slope_i$ $\hat y_{obs}$ $i$ пов'язаного фактора групування. Хоча насправді алгоритм MLE визначає значення для максимізації ймовірності , я б очікував, що вираз нижче повинен бути розмірно правильним способом визначення ефектів рівномірного перекладу в , множник випадкового ефекту для . $\rho$ $x$ $\slope$

ρ_{slope : int} = \frac{Е_{i} [({схил}_{i} - \bar{{схил}_{i}}) ({int}_{i} - \bar{{int}_{i}})]}{\sqrt{Е_{i} [({схил}_{i} - \bar{{схил}_{i}})^{2}] Е_{i} [({int}_{i} - \bar{{int}_{i}})^{2}]}}

$\rho_{\slope:\int} = \frac{E_{i}\big[(\slope_i -\overline {\slope_i})(\int_i -\overline {\int_i})\big]}{\sqrt{E_{i}\big[(\slope_i -\overline {\slope_i})^2\big]E_{i}\big[(\int_i-\overline {\int_i})^2\big]}}$

Щоб дійти до свого результату, я спершу переписав старе значення перехоплення з точки зору нового значення перехоплення, (тут, ,' ліворуч 'зсув походження для предиктора ). Потім я замінив отриманий вираз на чисельник вищевказаної формули для , обчисливши значення що призвело до нульової коваріації в новій системі координат. Зауважте, що, як зазначено в запитанні вище, термін перехоплення з фіксованим ефектом також зміниться аналогічно: . (Тут $\int' = -\delta \times \slope + \int$ $\delta > 0$ $x$ $\rho$ $\delta$ $\beta_0' =- \delta\times\beta_x + \beta_0$ $\beta_x$ - це предиктор фіксованого ефекту, пов'язаний зі зміщеним предиктором) $x.$

r mixed-model lme4-nlme

— кларпуль
джерело

Кілька грубих ідей. змінюється, якщо (1) змінюється фіксований нахил або (2) змінюються випадкові нахили. Для (1): нерухомий нахил можна розглядати як середньозважене середнє для кластера схилів, де вага частково залежить від оціночних дисперсійних компонентів. Опущення коваріації змінює var. кошторис, зміна ваг, зміна нерухомого нахилу. Для (2): випадкові схили - це укладені для кластеру схили, "стиснуті" у напрямку нерухомого схилу пропорційно до однакових ваг. Опущення коваріації змінює var. оцінки, зміна ступеня усадки, зміна випадкових укосів.

\hat{y}

$\hat{y}$

— Джейк Вестфалл

Я трохи розчарований, це не привернуло більше уваги, @clarpaul. Ви можете просто поставити власну відповідь. Якщо ніхто більше не відповість, я просто дарую вам нагороду.

— gung - Відновити Моніку

Дякую @gung, моя відповідь буде тісно відповідати моїм "Редагуванням" вище. Баунті було б добре, але я, можливо, не встигну до того, як він закінчиться. Я закликаю будь-кого прийняти мої "Правки" і перетворити їх на відповідь, якщо вони згодні з основними міркуваннями і готові витратити час, щоб трохи їх відполірувати.

— clarpaul

Відповідь на це питання виявляється досить визначеною . Якби змістили координати незалежних змінних моделі ZCP і дозволили кореляціям розвиватися необмежено , прогнози не змінюватимуться, оскільки лінійні моделі змішаних ефектів з необмеженими кореляціями є інваріантними перекладами (це можна показати трохи з математикою) . Але, за визначенням , модель ZCP має кореляції, обмежені . Що стосується зміщення координат, кореляції не дозволять розвиватися так, як потрібно в необмеженій моделі LME. Тому моделі ZCP не є інваріантними для перекладу, і зміщення координат було б $0$ змінити прогнози моделі. І (якщо ви очікуєте, що моделі LME будуть інваріантними для перекладу чутливих координатних зрушень), лише ті моделі, в яких такі зрушення координат не мають сенсу, теоретично розумні як ZCP-моделі (тобто, «спеціальні», згадані в третьому пункті парафрази з Bates і ін вище). [Примітка: я в майбутньому розширюю цю відповідь, щоб включити формули, які я отримав для кореляції, яка розвивається при зрушенні координат спочатку моделі ZCP, і для підтвердження того, що моделі LME з необмеженими кореляціями є інваріантними перекладами.]
Результат Бейтса та ін - просто помилка друку. Відповідь повинна мати ті ж розміри, що й предиктор, ( Days ), який зміщений. Оскільки, wlog, і можна вважати розмірами одиниці, , який має розміри (ті ж розміри, що і ), повинен бути в знаменнику для того, щоб мати правильні розміри. $\delta$ $x$ $\sigma_{intercept}$ $\rho$ $\sigma_{slope}$ $1/x$ $slope$ $\delta$

— кларпуль
джерело