Перетворення Фур'є в розподілах

Які розподіли є власним перетворенням Фур'є, окрім нормального розподілу та узагальненого розподілу дуг ?

distributions fourier-transform

— Ніл G
джерело

Припустимо, перетворення Фур'є з є де де . Зворотне перетворення - $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \exp (- i 2 π f t) d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) \exp (i 2 π f t) d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

Деякі властивості перетворення Фур'є наступні:

Перетворення Фур'є в дорівнює $X(t)$ $x(-f)$
Якщо є дійсно оціненою парною функцією , то є дійсно оціненою парною функцією . $x(t)$ $t$ $X(f)$ $f$

Таким чином, якщо є дійсно оціненою парною функцією , то перетворення Фур'є реально оціненої парної функції дорівнює $x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

Тепер припустимо, що - функція густини рівномірної ймовірності (так що для всіх ) з додатковою властивістю, що . Припустимо також, що його перетворення Фур'є має властивість для всіх . Тоді, оскільки - це навіть негативна реальна значення функції з площею , то є, - це також функція щільності ймовірності зі властивістю, що $x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

x (0) = 1 = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$ . Одним із прикладів такої пари функцій є нормальний розподіл, на який посилається OP Neil G а інший приклад -

x_{1} (t) = \exp (- π t^{2}), X_{1} (f) = \exp (- π f^{2})

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

x_{2} (t) = (1 - | t |) 1_{[- 1, 1]}, X_{2} (f) = {sinc}^{2} (f) = {\begin{cases} {(\frac{\sin (π f)}{π f})}^{2}, & f \neq 0, \\ 1, & f = 0. \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

Тепер зауважимо, що - це щільність суміші , перетворення Фур'є якої - однакова щільність суміші. $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

Таким чином, якщо - функція щільності, перетворення Фур'є - функція щільності, то функція щільності суміші - це власне перетворення Фур'є. $x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

Нарешті, враховуючи дві щільності, які є їх власними перетвореннями Фур'є, наприклад та , будь-яка щільність суміші де - це функція щільності, яка є її власним перетворенням Фур'є. $x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α x_{1} (t) + (1 - α) [\frac{1}{2} x_{2} (t) + \frac{1}{2} X_{2} (t)]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— Діліп Сарват
джерело

(+1) Це досить розумно. Слід зазначити, що для гарантування дійсної пари перетворень нам потрібна умова інтеграції на . А саме, гарантуватиме, що зазначена інверсія відновить відповідну щільність. У певному сенсі ви використовуєте такий стан згодом. (Я вже припускав, що обмеження негативності на накладено, тому йому не потрібен модуль.)

X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$

— кардинал