Яка різниця між асимптотичною неупередженістю та послідовністю?

Чи має на увазі кожен другий? Якщо ні, то один означає інший? Чому / чому ні?

Це питання виникло у відповідь на коментар до відповіді, яку я розмістив тут .

Хоча пошук Google у відповідних термінах не дав нічого корисного, я помітив відповідь на зміну математики. Однак я вважав, що це питання підходить і для цього сайту.

EDIT після прочитання коментарів

Відносно відповіді math.stackexchange я опинився після чогось більш глибокого, висвітлюючи деякі проблеми, які розглядалися в ланцюжку коментарів @whuber . Крім того, як я бачу, питання math.stackexchange показує, що послідовність не означає асимптотично неупередженості, але не пояснює багато чого, чому. ОП там також сприймає як належне, що асимптотична неупередженість не передбачає послідовності, і, отже, єдиний відповідь поки не пояснює, чому це так.

— user1205901 - Відновити Моніку
джерело

Тут розпочнеться відповідна дискусія в чаті.

— Стефан Коласа

Поняття, пов’язані з цим питанням, широко обговорюються в коментарях після stats.stackexchange.com/a/31038/919 .

— whuber

А нитка подальшої теми до дискусії, пов’язаної з @whuber, знаходиться тут: stats.stackexchange.com/questions/120584 .

— амеба

У відповідній повідомленням , по меншій math.se , відповідач приймає , як зазначено , що визначення асимптотичної незсуненості є $\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$ .

Інтуїтивно я не погоджуюся: "неупередженість" - це термін, який ми вперше вивчаємо стосовно розподілу (скінченна вибірка). Тоді більш природно вважати "асимптотичну неупередженість" стосовно асимптотичного розподілу. І насправді це те, що роблять Леман і Казелла в "Теорії оцінки точки (1998, 2-е видання)" , стор. 438 Визначення 2.1 (спрощене позначення):

$Якщо к_{н} ({\hat{θ}}_{н} - θ) \to_{г} Н$ $\text{If} \;\;\;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H$
для деякої послідовності і для деякої випадкової величини , оцінювач & асимптотично несмещенной , якщо очікуване значення дорівнює нулю. $k_n$ $H$ $\hat \theta_n$ $H$

Враховуючи це визначення, можна стверджувати, що послідовність передбачає асимптотичну неупередженість з тих пір

{\hat{θ}}_{н} \to_{p} θ ⟹ {\hat{θ}}_{н} - θ \to_{p} 0 ⟹ {\hat{θ}}_{н} - θ \to_{г} 0

$\hat \theta_n \to_{p}\theta \implies \hat \theta_n - \theta \to_{p}0 \implies \hat \theta_n - \theta \to_{d}0$

... і вироджене розподіл, що дорівнює нулю, має очікуване значення, що дорівнює нулю (тут послідовність - це послідовність одиниць). $k_n$

Але я підозрюю, що це насправді не корисно, це лише побічний продукт визначення асимптотичної неупередженості, який дозволяє вироджувати випадкові величини. По суті, ми хотіли б знати, чи, якби у нас був вираз із залученням оцінювача, що сходиться до невідродженого rv, послідовність все ще означатиме асимптотичну неупередженість.

$\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Неупередженість у межі є достатньою (але не необхідною) для узгодженості за додаткової умови, що послідовність дисперсій оцінювача йде до нуля (маючи на увазі, що дисперсія існує в першу чергу).

Для тонкощів, пов’язаних з стислістю з нульовою дисперсією (трохи розумною), відвідайте цей пост .

— Алекос Пападопулос
джерело

Чи правильно я розумію, що

у визначенні дозволено бути будь-якою випадковою змінною (тобто для деякої послідовності)

H

$H$

k_{n}

$k_n$

H

$H$

Прикро, що ця відповідь містить лише "Неупередженість у межі достатня", а не також "за додаткової умови, що послідовність варіацій оцінювача переходить до нуля". Тут легко ввести в оману, оскільки ця додаткова умова має вирішальне значення для цієї "достатності".

— daegan