Складання математичного рівняння для багаторівневої моделі змішаних ефектів

Питання CV

Я намагаюся дати (a) детальне та стисле математичне зображення моделей змішаних ефектів. Я використовую lme4пакет у Р. Яке правильне математичне подання для моєї моделі?

Дані, наукове запитання та код R

Мій набір даних складається з видів у різних регіонах. Я перевіряю, чи змінюється розповсюдженість видів у часі, що призводить до вимирання (вимирання не обов'язково є постійними; воно може повторно відбуватися) або після колонізації.

lmer(prevalence ~ time + time:type + (1 + time + type:time | reg) + (1 + time + type:time | reg:spp))

Поширеність - це частка шарів, зайнятих видом у регіоні-році
Час - це суцільна змінна, яка вказує час або на вимирання, або на колонізацію; це завжди позитивно
Тип - категоріальна змінна з двома рівнями. Ці два рівні "-" та "+". Коли тип - - це колонізація (рівень за замовчуванням). Коли тип +, це вимирання.
Reg - категоріальна змінна з дев'ятьма рівнями, що вказує на регіон
Spp - категоріальна змінна; кількість рівнів змінюється в різних регіонах і коливається між 48 рівнями і 144 рівнями.

Словом: змінна відповідь - це поширеність (частка зайнятих верств). Фіксовані ефекти включали 1) та перехоплення, 2) час від події та 3) взаємодію між часом та подією та типом події (колонізація чи вимирання). Кожен із цих 3 фіксованих ефектів змінювався випадковим чином у різних регіонах. У межах регіону кожен з ефектів змінювався випадковим чином серед видів.

Я намагаюся розібратися, як написати математичне рівняння для моделі. Я думаю, що я розумію, що відбувається в коді R (хоча, я впевнений, що у мене є деякі прогалини в знаннях, і, сподіваюся, виписування формального математичного виразу покращить моє розуміння).

Я дуже багато шукав в Інтернеті та на цих форумах. Я знайшов багато корисної інформації, щоб бути впевненим (і, можливо, я посилаюся на деякі з них у редакції цього питання). Однак я не зміг знайти, що "Rosetta Stone" з R-коду перекладено на математику (мені зручніше з кодом), що дійсно допоможе мені підтвердити, що я отримав ці рівняння правильно. Насправді я знаю, що вже є деякі прогалини, але ми дістанемося до цього.

Моя спроба

Основна форма моделі змішаних ефектів у матричній нотації є (наскільки я розумію):

Y = X β + Z γ + ϵ

$Y = X \beta + Z \gamma + \epsilon$

X = [\begin{matrix} 1 & Δ t & Δ t_{+} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & Δ t_{n} & Δ t_{+, n} \end{matrix}]

$X = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t & \Delta t_{+} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \Delta t_n & \Delta t_{+,n} \end{bmatrix}$

β^{^{'}} = [\begin{matrix} β_{0} & β_{1} & β_{2} \end{matrix}]

$\beta^{'} = \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}$

Z = [\begin{matrix} 1 I (r_{1}) & Δ t I (r_{1}) & Δ t_{+} I (r_{1}) & \dots & 1 I (r_{9}) & Δ t I (r_{9}) & Δ t_{+} I (r_{9}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 I (r_{1, n}) & Δ t_{n} I (r_{1, n}) & Δ t_{+, n} I (r_{1, n}) & \dots & 1 I (r_{9, n}) & Δ t I (r_{9, n}) & Δ t_{+, n} I (r_{9, n}) \end{matrix}]

$Z = \begin{bmatrix} 1 I(r_1) & \Delta t I(r_1) & \Delta t_{+} I(r_1) & \dots & 1 I(r_9) & \Delta t I(r_9) & \Delta t_{+} I(r_9) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 I(r_{1,n}) & \Delta t_n I(r_{1,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{1,n}) & \dots & 1 I(r_{9,n}) & \Delta t I(r_{9,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{9,n}) \\ \end{bmatrix}$

γ^{^{'}} = [\begin{matrix} γ_{0, 1} & γ_{1, 1} & γ_{2, 1} & \dots & γ_{0, 9} & γ_{1, 9} & γ_{2, 9} \end{matrix}]

$\gamma^{'} = \begin{bmatrix} \gamma_{0,1} & \gamma_{1,1} &\gamma_{2,1} & \dots & \gamma_{0,9} & \gamma_{1,9} &\gamma_{2,9} \end{bmatrix}$

ϵ \sim N (0, Σ)

$\epsilon \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$

- матриця проектування для фіксованих ефектів, - час після колонізації (), а - час після вимирання () $X$ $\Delta t$ time $\Delta t_{+}$ time:type
$Z$
$\beta$ $\gamma$
$\epsilon$ $\Sigma$

Якщо припустити, що речі досі коректні, це означає, що я хороший на найвищому рівні. Однак пояснення видових варіацій параметрів, які вкладені в межах кожного регіону, наштовхнуло мене ще більше.

Але я взяв тріщину в чомусь, що, можливо, має сенс ...

$\gamma$ $\gamma$

- де - матриця проектування, специфічна для області і предиктора , $U_{p,r}$ $r$ $p$ $b_{p,r}$ $S$ $\eta_{p,r}$

$\gamma_{p,r}$

γ_{0, r} = U_{0, r} b_{0, r} + η_{0, r}

$\gamma_{0,r} = U_{0,r} b_{0,r} + \eta_{0,r}$

γ_{0, r} = [\begin{matrix} 1 I (s_{1}) \dots 1 I (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{0, 1} \\ ⋮ \\ b_{0, S} \end{matrix}] + η_{0, r}

$\gamma_{0,r} = \begin{bmatrix} 1 I(s_1) \dots 1 I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{0,1}\\ \vdots \\ b_{0,S} \end{bmatrix} + \eta_{0,r}$

γ_{1, r} = U_{1, r} b_{1, r} + η_{1, r}

$\gamma_{1,r} = U_{1,r} b_{1,r} + \eta_{1,r}$

γ_{1, r} = [\begin{matrix} Δ t I (s_{1}) \dots Δ t I (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{1, 1} \\ ⋮ \\ b_{1, S} \end{matrix}] + η_{1, r}

$\gamma_{1,r} = \begin{bmatrix} \Delta t I(s_1) \dots \Delta t I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1,1}\\ \vdots \\ b_{1,S} \end{bmatrix} + \eta_{1,r}$

γ_{2, r} = U_{2, r} b_{2, r} + η_{2, r}

$\gamma_{2,r} = U_{2,r} b_{2,r} + \eta_{2,r}$

γ_{2, r} = [\begin{matrix} Δ t_{+} I (s_{1}) \dots Δ t_{+} I (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{2, 1} \\ ⋮ \\ b_{2, S} \end{matrix}] + η_{2, r}

$\gamma_{2,r} = \begin{bmatrix} \Delta t_+ I(s_1) \dots \Delta t_+ I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{2,1}\\ \vdots \\ b_{2,S} \end{bmatrix} + \eta_{2,r}$

$\eta \sim \mathcal{N}(0,\Sigma_{\eta})$ $\epsilon$ $\Sigma$ $G$

Редагувати: інші запитання, які були корисними

Цей Q / A був приємний, але не виписував речі в повному вигляді матриці

r mixed-model multilevel-analysis lme4-nlme

— рбатт
джерело

Я сумніваюся, що цей документ має "відповідь" на ваше запитання, але він добре послужив мені як буквар до рівнянь HMM. Забудьте про те, що він коріння в SAS, це просто чудовий огляд цього класу моделей. Джудіт Зінгер, використовуючи програму SAS, змішану для підгонки багаторівневих моделей, ієрархічних моделей та індивідуальних моделей зростання, JEBS , зима 1998, т. 24, № 4, с. 323-355.

— Мистер Хантер

Ви читали тут розділ 2.3 ?

— Роберт Лонг

Я читав їх, і подібні ресурси до цього часу мене дістали. Можливо, мені потрібно просто намагатися, але я не зміг знайти жодного складного прикладу, який би міг отримати достатню впевненість у моєму сьогоднішньому підході.

— rbatt

Наскільки я розумію, "гніздування" - це лише взаємодія в lmer-моделях. Це поняття підкріплюється використанням одного і того ж синтаксису. Тому я вважаю, що reg: spp може оброблятися однією категоріальною змінною та просто іншим набором блоків у Z.

— deasmhumnha

Я б також припустив, що lmer уникне ідеальної узгодженості та включить лише зайві взаємодії в межах додаткової змінної.

— деасмхумха

Якщо я правильно зрозумів код, чому б просто не написати щось подібне

у_{i} = (α + ν_{j [i]}^{(α)} + η_{к [i]}^{(α)}) + (β + ν_{j [i]}^{(β)} + η_{к [i]}^{(β)}) Т_{i} + (δ + ν_{j [i]}^{(δ)} + η_{к [i]}^{(δ)}) (Т_{i} * Z_{i}) + ϵ_{i}

$y_{i} = \Big(\alpha + \nu_{j[i]}^{(\alpha)} + \eta_{k[i]}^{(\alpha)}\Big) + \Big(\beta + \nu_{j[i]}^{(\beta)} + \eta_{k[i]}^{(\beta)}\Big)T_{i} + \Big(\delta + \nu_{j[i]}^{(\delta)} + \eta_{k[i]}^{(\delta)}\Big)(T_{i} * Z_{i}) + \epsilon_i$

\begin{aligned} [ν_{j}^{(α)}, ν_{j}^{(β)}, ν_{j}^{(δ)}] & \sim Багатонормальний (0, Σ_{ν}) \\ [η_{j}^{(α)}, η_{j}^{(β)}, η_{j}^{(δ)}] & \sim Багатонормальний (0, Σ_{η}) \\ ϵ_{i} & \sim Нормальний (0, σ_{ϵ}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \Big[\nu_{j}^{(\alpha)}, \nu_j^{(\beta)}, \nu_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\nu) \\ \Big[\eta_{j}^{(\alpha)}, \eta_j^{(\beta)}, \eta_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\eta)\\ \epsilon_i & \sim \text{Normal}(0, \sigma_\epsilon) \end{aligned}$

y_{i} = α_{j [i], k [i]} + β_{j [i], k [i]} T_{i} + δ_{j [i], k [i]} (T_{i} * Z_{i}) + ϵ_{i}

$y_{i} = \alpha_{j[i],k[i]} + \beta_{j[i],k[i]}T_{i} + \delta_{j[i],k[i]}(T_i * Z_i) + \epsilon_i$

\begin{aligned} α_{j [i], k [i]} & = α + ν_{j}^{(α)} + η_{k}^{(α)} \\ β_{j [i], k [i]} & = β + ν_{j}^{(β)} + η_{k}^{(β)} \\ δ_{j [i], k [i]} & = δ + ν_{j}^{(δ)} + η_{k}^{(δ)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \alpha_{j[i],k[i]} &= \alpha + \nu_{j}^{(\alpha)} + \eta_{k}^{(\alpha)} \\ \beta_{j[i],k[i]}&=\beta + \nu_{j}^{(\beta)} + \eta_{k}^{(\beta)}\\ \delta_{j[i],k[i]}&=\delta + \nu_{j}^{(\delta)} + \eta_{k}^{(\delta)}\\ \end{aligned}$

— баруум
джерело