Що означає говорити про те, що подія "трапляється врешті-решт"?

Розглянемо одновимірну випадкову прогулянку на цілі числа з початковим станом : $\mathbb{Z}$ $x\in\mathbb{Z}$

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

де прирости є IID такими, що . $\xi_i$ $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$

Можна довести, що (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

де підписник позначає початкову позицію.

Нехай є першим часом проходження, щоб вказати . Іншими словами, . Можна також довести, що (2) $\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

Обидва докази можна знайти на http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf . Читаючи статтю, я розумію обидва докази.

Моє питання, однак, яке значення "зрештою" полягає в першому висловлюванні, а також загалом. Якщо щось трапляється "врешті-решт", це не повинно відбуватися в обмежений час, чи не так? Якщо так, то яка насправді різниця між тим, що не відбувається, і тим, що не відбувається "зрештою"? Заяви (1) і (2) в деякому сенсі мені суперечать. Чи є інші подібні приклади?

EDIT

Просто хочу додати мотивацію до питання, тобто прямолінійний приклад того, що відбувається "врешті-решт", але з обмеженим очікуваним часом очікування.

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

Тому ми знаємо, що ходок "врешті-решт" переміститься вліво, і очікуваний час очікування перед цим (тобто, рухаючись ліворуч) становить . $1/(1/2)=2$

Бачити щось, що трапляється "врешті-решт", але з нескінченним очікуваним "часом очікування" було досить розтягненням для моєї уяви. Друга половина відповіді @ whuber - ще один чудовий приклад.

— Ye Tian
джерело

ні в кінцевому рахунку не означає в обмежений час. Саме це контрастується: P - кінцевий, тоді як очікування tau нескінченне

— seanv507

Добре є канонічний приклад розподілу Коші en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution .

— seanv507

@ seanv507 - Так, хоча середнє значення розподілу Коші не визначене, а не нескінченне (середнє значення вибірки з dbn Коші буде стрибати, коли наближатиметься до нескінченності, а не стабільно сходиться до + Нескінченності). Я думав про розподіл Парето ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ), який має середнє значення = Нескінченність, коли його параметр форми і все ж має чітко визначену функцію розподілу ймовірностей.

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— RobertF

@RobertF дякую - я повинен був би сказати

— Pareto

У всьому цьому є деякий комфорт: якщо , то , але не навпаки.

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— Алекс Р.

Відповіді:

Як би ви продемонстрували подію, яка "врешті-решт станеться"? Ви б провели мислительний експеримент з гіпотетичним опонентом. Ваш опонент може кинути вам виклик будь-яким додатним числом . Якщо ви зможете знайти (який, швидше за все, залежить від ), для якого шанс події, що відбудеться часом , принаймні становить , тоді ви виграєте. $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

У прикладі " " вводить в оману позначення, оскільки ви використовуєте його як для позначення одного стану випадкової прогулянки, так і для всього самого випадкового прогулянки. Давайте подбаємо, щоб визнати відмінність. "Досягає зрештою" означає позначати підмножину множини всіх випадкових прогулянок . Кожна хода має нескінченно багато кроків. Значення за час дорівнює . " досягає часу " відноситься до підмножини прогулянок, які досягли стану $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ за часом . Суворо, це набір $n$

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

У своїй відповіді на уявного опонента ви демонструєте деякий із властивістю, яке $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

Оскільки довільне, у вас є всі елементи набору $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(Нагадаємо, що тоді і тільки тоді, коли існує кінцеве для якого , тому в цьому об'єднанні не існує нескінченних чисел.) $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

Ваша здатність вигравати гру показує, що цей союз має ймовірність, що перевищує всі значення форми , незалежно від того, наскільки малий . Отже, ця ймовірність становить щонайменше - і тому дорівнює . Ви продемонстрували тоді це $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

Один з простих способів оцінити різницю між "тим, що відбувається в кінцевому рахунку" і нескінченним очікуваним першим часом проходження, - це розглянути більш просту ситуацію. Для будь-якого натурального числа нехай є послідовністю $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

в яких нулів супроводжується нескінченним рядом одиниць. Іншими словами, це прогулянки, які залишаються біля витоків і в якийсь (обмежений) час переходять до точки , а потім залишаються там назавжди. $n$ $1$

Нехай - множина всіх цих з дискретною сигма-сигмою. Призначте міру ймовірності через $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

Це було розроблено для того, щоб зробити шанс стрибнути на до часу рівного , що, очевидно, довільно наближається до . Ви виграєте гру. Стрибок зрештою трапляється, і коли це станеться, це буде в якийсь кінцевий час. Однак очікуваний час, коли це трапиться, - це сума функції виживання (що дає шанси не стрибнути під час ), $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

яка розходиться. Це тому, що відносно велика ймовірність дається довго чекати перед стрибком.

— дзижчати
джерело

Чи я нерозумію, якщо читаю ваш перший розділ як перехід до аргументу epsilon / delta, і, таким чином, в основному просто кажучи

(де

- ймовірність якоїсь події після

кроків)?

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

— jpmc26

@jpm Це не просто зводиться до нього, а він є епсилон-дельта аргумент. У цьому випадку "delta" є "

", а "epsilon" пишеться "

" як нагадування про те, що це ймовірність. Акцент тут робиться на кінцівку в

: межі визначаються в термінах кінцевих значень і кінцевих операцій, які не інфінітним.

n

$n$

p

$p$

n

$n$

— whuber

Дякую анонімному користувачеві за те, що він запропонував використовувати underbraceв описі

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

— whuber

Те, що в кінцевому підсумку щось відбувається, означає, що є певний момент, у який це відбувається, але є конотація, що не йдеться про якийсь конкретний час, до якого це відбувається. Якщо ви скажете, що щось відбудеться протягом трьох тижнів, це більш сильне твердження, ніж те, що воно відбудеться врешті-решт. Що це станеться врешті-решт, не визначається час, наприклад, "три тижні" чи "тридцять мільярдів років" чи "одна хвилина".

— Майкл Харді
джерело