Оскільки звичайна помилка лінійної регресії зазвичай задається для змінної реакції, мені цікаво, як отримати довірчі інтервали в іншому напрямку - наприклад, для перехоплення x. Я вмію уявити, що це може бути, але я впевнений, що для цього повинен бути простий спосіб. Нижче наводиться приклад в R, як це візуалізувати:

set.seed(1)
x <- 1:10
a <- 20
b <- -2
y <- a + b*x + rnorm(length(x), mean=0, sd=1)

fit <- lm(y ~ x)
XINT <- -coef(fit)[1]/coef(fit)[2]

plot(y ~ x, xlim=c(0, XINT*1.1), ylim=c(-2,max(y)))
abline(h=0, lty=2, col=8); abline(fit, col=2)
points(XINT, 0, col=4, pch=4)
newdat <- data.frame(x=seq(-2,12,len=1000))

# CI
pred <- predict(fit, newdata=newdat, se.fit = TRUE) 
newdat$yplus <-pred$fit + 1.96*pred$se.fit 
newdat$yminus <-pred$fit - 1.96*pred$se.fit 
lines(yplus ~ x, newdat, col=2, lty=2)
lines(yminus ~ x, newdat, col=2, lty=2)

# approximate CI of XINT
lwr <- newdat$x[which.min((newdat$yminus-0)^2)]
upr <- newdat$x[which.min((newdat$yplus-0)^2)]
abline(v=c(lwr, upr), lty=3, col=4)

Як обчислити довірчий інтервал x-перехоплення в лінійній регресії?

Припущення

• Використовуйте просту регресійну модель $y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$.
• Помилки мають звичайний розподіл, що залежить від регресорів $\epsilon | X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I_n)$
• Підходять, використовуючи звичайний найменший квадрат

3 процедури обчислення довірчого інтервалу на х-перехопленні

• Розширення Тейлора (простий у використанні)
• Метод Марк у коробці (MIB)
• CAPITANI-POLLASTRI ( https://boa.unimib.it/retrieve/handle/10281/43053/64388/DECAPITANI_Pollastri.pdf )

Розширення Тейлора першого порядку

Ваша модель є $Y=aX+b$ з розрахунковим стандартним відхиленням $\sigma_a$ і $\sigma_b$ на $a$ і $b$ параметри і кошторисна коваріація $\sigma_{ab}$. Ви вирішуєте

Потім стандартне відхилення $\sigma_X$ на $X$ задається:

MIB

Дивіться код від Марка в полі в розділі Як обчислити довірчий інтервал x-перехоплення в лінійній регресії? .

CAPITANI-POLLASTRI

CAPITANI-POLLASTRI забезпечує функцію кумулятивного розподілу та функцію густини для відношення двох корельованих нормальних випадкових величин. Він може бути використаний для обчислення довірчого інтервалу x-перехоплення в лінійній регресії. Ця процедура дає (майже) однакові результати, як і результати MIB.

Дійсно, використовуючи звичайний найменший квадрат і припускаючи нормальність помилок, $\hat\beta \sim \mathcal{N}(\beta, \sigma^2 (X^TX)^{-1})$ (перевірено) та $\hat{\beta}$'s є співвіднесеними (перевіреними).

Процедура така:

• отримати OLS-оцінювач для $a$ і $b$.
• отримати матрицю дисперсії та коваріації та витяг, $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_{ab}=\rho\sigma_a\sigma_b$.
• Припустимо, що $a$ і $b$ слідкуйте за двокваріатним корельованим нормальним розподілом, $\mathcal{N}(a, b, \sigma_a, \sigma_b, \rho)$. Тоді функція щільності та функція кумулятивного розподілу$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$ даються CAPITANI-POLLASTRI.
• Використовуйте функцію кумулятивного розподілу $x_{intercept}= \frac{-b}{a}$ обчислити бажані кванти та встановити інтервал впевненості.

Порівняння трьох процедур

Процедури порівнюються з використанням наступної конфігурації даних:

• х <- 1:10
• a <- 20
• b <- -2
• y <- a + b * x + rnorm (довжина (x), середнє = 0, sd = 1)

10000 різних проб генерують та аналізують за допомогою 3-х методів. Код (R), який використовується для створення та аналізу, можна знайти за посиланням: https://github.com/adrienrenaud/stackExchange/blob/master/crossValidated/q221630/answer.ipynb

• MIB та CAPITANI-POLLASTRI дають рівноцінні результати.
• Розширення Тейлора першого порядку істотно відрізняється від двох інших методів.
• MIB та CAPITANI-POLLASTRI страждає від недостатнього покриття. Встановлено, що 68% (95%) ci містить справжнє значення 63% (92%) часу.
• Розширення Тейлора першого порядку страждає від надмірного покриття. Встановлено, що 68% (95%) ci містять справжнє значення 87% (99%) часу.

Висновки

Розподіл х-перехоп асиметричний. Це виправдовує асиметричний довірчий інтервал. MIB та CAPITANI-POLLASTRI дають рівноцінні результати. CAPITANI-POLLASTRI має приємне теоретичне обгрунтування, і це дає підстави для MIB. MIB і CAPITANI-POLLASTRI страждає від помірного недоохоплення і може бути використаний для встановлення довірчих інтервалів.

Я рекомендую завантажувати залишки:

library(boot)

set.seed(42)
sims <- boot(residuals(fit), function(r, i, d = data.frame(x, y), yhat = fitted(fit)) {

  d$y <- yhat + r[i]

  fitb <- lm(y ~ x, data = d)

  -coef(fitb)[1]/coef(fitb)[2]
}, R = 1e4)
lines(quantile(sims$t, c(0.025, 0.975)), c(0, 0), col = "blue")

Те, що ви показуєте на графіку, - це точки, де нижня / верхня межа довірчої смуги прогнозів перетинає вісь. Я не думаю, що це межі надійності перехоплення, але, можливо, вони є приблизним наближенням.