Інтуїція за розподілом закону про владу

16

Я знаю, що pdf розподілу закону про владу є

p (x) = \frac{α - 1}{x_{min}} {(\frac{x}{x_{min}})}^{- α}

$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$

Але що це інтуїтивно означає, якщо, наприклад, ціни на акції слідують за розподілом закону про владу? Чи означає це, що втрати можуть бути дуже високими, але рідкісними?

distributions power-law

— Томас Джеймс
джерело

5

Це важкий хвостовий розподіл, оскільки cdf Отже, ймовірність перевищити , можна зробити довільно близьким до за допомогою правильного вибору . Наприклад, якщо ви хочете, щоб ймовірність перевищувала була щонайменше , слід вибрати щоб бути не більше крива, представлена нижче, з Перша вісь масштабується на , а не на ...

F (x) = 1 - {(\frac{x}{x_{min}})}^{1 - α}

$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$

x

$x$

(x / x_{min})^{1 - α}

$(x/x_\min)^{1-\alpha}$

1

$1$

α

$\alpha$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$

0.9

$0.9$

α

$\alpha$

1 - \log_{10} (0.9) / u

$1-\log_{10}(0.9)/u$

u

$u$

10^{u} x_{min}

$10^u x_\min$ R-криве відображення вищевказаної функції

— Сіань
джерело

2

Це не рецензується джерело, але мені подобається ця записка по CMU STATs професора Cosma Шалізі . Він також є автором цієї статті про оцінку таких даних за даними.

— так
джерело

Саме тому я поставив своє запитання. Я вже читав цю статтю. Без рівнянь, що означає щось, що слідкувати за розподілом закону про владу?

— Томас Джеймс

2

Ласкаво просимо на сайт, Томасе! Ви можете розглянути питання про редагування свого питання, щоб дати деяку ознаку того, що спочатку викликало ваш інтерес. Взагалі, чим більше інформації, тим краще. Наприклад, заявляючи, що ви прочитали записку проф. Шалізі, і це змусило задуматися про Х. не тільки попереджує відповіді, які точно підказують це, але й чіткіше показує ваш порядок думок, який, як правило, дає кращі відповіді. :) (Наприклад, ви читали рецензійну статтю М. Мітценмахера з Інтернет-математики ?)

— кардинал

2

Паперові закони про економіку та фінанси можуть допомогти здобути інтуїцію щодо законів влади. Xavier Gabaix заявляє, що закон про владу (PL) - це форма, що приймається великою кількістю дивовижних емпіричних закономірностей в економіці та фінансах. Його огляд описує добре задокументовані емпіричні PL щодо доходу та багатства, розміру міст та фірм, прибутку на фондовому ринку, обсягу торгів, міжнародної торгівлі та оплати праці виконавців.

Інтуїція до розповсюдження Парето

Парето (вікіпедія) спочатку описав розподіл багатства серед окремих людей: значна частина багатства будь-якого суспільства належить невеликому відсотку людей. Його ідея висловлюється простіше, як принцип Парето або "правило 80-20" говорить, що 20% населення контролює 80% багатства.

Правий хвіст розподілу доходів і багатства часто нагадує Парето

Якщо розподіл доходу - Парето, то можна вивести прості вирази для частки, що становить 1%, або 10%. Тоді частка верхнього квартального відсотка в загальному доході може бути отримана як:

{(\frac{q}{100})}^{\frac{α - 1}{α}},

$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$

де - параметр форми. З цього виразу випливає, що нижчий відповідає більш товстому хвосту розподілу Парето, і, таким чином, більша частка загального доходу, яка охоплюється фізичними особами з більшими відсотками розподілу. Наприклад, при верхній 1% долі становить 10%, а при $\alpha \geq 1$ $\alpha$ $\alpha=2$ $\alpha=3$

— Емервіль
джерело

2

$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$ $Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$ $X$

Тепер однією важливою властивістю експоненціального розподілу є те, що він має постійну ступінь небезпеки. Виписуючи ступінь небезпеки для за допомогою першооснови (як умовна щільність у його граничній формі), і коригуючи її на рамку з точки зору ми отримуємо: $Y$ $X$

\begin{aligned} α - 1 = λ_{Y} (у) & = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot П (у ⩽ Y ⩽ у + ϵ | Y ⩾ у) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{1}{ϵ} \cdot П (\ln (х) ⩽ \ln (Х) ⩽ \ln (х) + ϵ | Х ⩾ х) \\ = lim_{ϵ ↓ 0} \frac{П (х ⩽ Х ⩽ х е^{ϵ} | Х ⩾ х)}{ϵ} \\ = lim_{δ ↓ 1} \frac{П (х ⩽ Х ⩽ δ х | Х ⩾ х)}{\ln δ} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$ $\ln \delta$ $x$ $x, x' > x_\min$ $\ln \delta$

П (х ⩽ Х ⩽ δ х | Х ⩾ х) \approx П (х^{'} ⩽ Х ⩽ δ х^{'} | Х ⩾ х^{'}) .

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$

$^\dagger$

— Відновіть Моніку
джерело