Інтервал між полями та інтервалом Тукі-Крамера

Довідковий документ "notch" ( або оригінальний текст ) від boxplot у "R" містить таке:

Якщо виїмки двох сюжетів не перетинаються, це є «вагомим доказом» того, що два медіани відрізняються (Chambers et al, 1983, p. 62). Дивіться boxplot.stats для використаних розрахунків.

а " boxplot.stats " містить таке:

Виїмки (якщо вимагається) поширюються на +/- 1,58 IQR / sqrt (n). Це, мабуть, ґрунтується на тих же розрахунках, що і формула 1,57 у Chambers et al (1983, стор. 62), наведена у McGill et al (1978, p. 16). Вони засновані на асимптотичній нормальності медіани і приблизно однакових розмірів вибірки для двох медіанів, що порівнюються, і, як кажуть, є досить нечутливими до базових розподілів зразків. Здається, ідея полягає в тому, щоб дати приблизно 95% довірчий інтервал для різниці двох медіанів.

Тепер я більш знайомий з використанням JMP-версії тесту Tukey-Kramer для порівняння засобів стовпців. Документація на JMP дає таке:

Показує тест, який визначається за всіма відмінностями серед засобів. Це випробування Tukey або Tukey-Kramer HSD (чесно вагома різниця). (Tukey 1953, Kramer 1956). Цей тест є точним тестом на рівень альфа, якщо розміри вибірки однакові, і консервативним, якщо розміри вибірки різні (Hayter 1984).

Питання: Яка природа зв’язку між двома підходами? Чи є спосіб перетворити одне на інше?

Схоже, що людина шукає приблизно 95% ІС для медіани та визначає, чи є перекриття; а інший - "точний альфа-тест" (мої вибірки однакового розміру) для визначення того, чи є медіани двох наборів зразків у межах розумного діапазону один від одного.

Я посилаюся на пакунки, але мене цікавить математика, що стоїть за логікою.

Що стосується зубчастої коробки, посилання McGill et al [1], згадані у вашому запитанні, містять досить повні деталі (не все, про що я тут кажу, прямо там згадується, але все-таки достатньо детально, щоб це зрозуміти).

Інтервал є надійним, але на основі Гаусса

У роботі цитується наступний інтервал для висічок (де - серединна проба, а - міжквартильний діапазон вибірки):$M$$R$

$$M\pm 1.7 \times 1.25R/(1.35\sqrt{N})$$

де:

• $1.35$ - асимптотичний коефіцієнт перетворення для перетворення IQR в оцінки - конкретно, це приблизно різниця між квантилем 0,75 і квантилем 0,25 від стандартного нормалу; Квартилі населення складають приблизно 1,35 один від одного, тому значення приблизно має бути послідовним (асимптотично неупередженим) оцінкою (точніше, приблизно 1,334).$\sigma$$\sigma$$R/1.35$$\sigma$

• $1.25$ приходить, тому що ми маємо справу з асимптотичною стандартною помилкою медіани, а не середньою. Зокрема, асимптотична дисперсія вибіркової медіани є де - висота щільності на медіані. Для нормального розподілу є , тому асимптотична стандартна помилка вибіркової медіани - .$\frac{1}{4nf_0^2}$$f_0$$f_0$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\approx \frac{0.3989}{\sigma}$$\frac{1}{2\sqrt{N}f_0}= \sqrt{\pi/2}\sigma/\sqrt{N}\approx 1.253\sigma/\sqrt{N}$

  Як Stask згадує тут , тим менше , тим більше сумнівне це буде (заміна його третя причини з одним про розумність використання нормального розподілу , в першу чергу.$N$

  Поєднуючи вищевказані дві, ми отримуємо асимптотичну оцінку стандартної похибки медіани приблизно . Макгілл та ін. Приписують це Кендаллу та Стюарту (я не пригадую, чи існує конкретна формула там чи ні, але компоненти будуть).$1.25R/(1.35\sqrt{N})$

• Тож все, що залишається для обговорення, - коефіцієнт 1,7.

  Зауважте, що якби ми порівнювали один зразок із фіксованим значенням (скажімо, медіаною гіпотези), ми використовували б 1,96 для 5% тесту; отже, якби у нас були дві дуже різні стандартні помилки (одна відносно велика, одна дуже мала), це стосувалося б коефіцієнта, який слід використовувати (оскільки якби нуль був істинним, різниця була б майже цілком обумовлена ​​варіацією однієї з більшою стандартна помилка, і малу можна - приблизно - трактувати як ефективно виправлену).

  З іншого боку, якби дві стандартні помилки були однаковими, 1,96 був би занадто великим фактором, оскільки обидва набори виїмок потрапляють у неї - для двох наборів висічок не перекриваємось, ми додаємо одну з кожної. Це зробить правильний коефіцієнт асимптотично.$1.96/\sqrt{2}\approx 1.386$

  Десь посередині, ми маємо 1,7 як грубий фактор компромісу. Макгілл та ін описують це як "емпірично вибране". Це дуже близьке до припущення певного співвідношення дисперсій, тому я здогадуюсь (і це не що інше), що емпіричний відбір (імовірно, заснований на деякому моделюванні) знаходився між набором співвідношень круглих значень для дисперсій (наприклад 1: 1, 2: 1,3: 1, ...), з яких "найкращий компроміс" із співвідношення потім був включений у округлений до двох цифр . Принаймні, це правдоподібний спосіб закінчитись дуже близько до 1,7.$r$$r:1$$1.96/\sqrt{1+1/r}$

Якщо об'єднати їх усіх (1,35,1,25 та 1,7), то це приблизно 1,57. Деякі джерела отримують 1,58, обчислюючи 1,35 або 1,25 (або обидва) точніше, але як компроміс між 1,338 і 1,96, що 1,7 навіть не є точним двома значущими цифрами (це просто компромісне значення кульового парку), тому додаткова точність є безглуздо (вони також могли просто округлити всю річ до 1.6 і зробити це з нею).

Зауважте, що тут немає налаштувань для кількох порівнянь.

---

Існує декілька чітких аналогій у довірчих межах для різниці HSD Tukey-Kramer :

$$\bar{y}_{i\bullet}-\bar{y}_{j\bullet} \pm \frac{q_{\alpha;k;N-k}}{\sqrt{2}}\widehat{\sigma}_\varepsilon \sqrt{\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}}$$

Але зауважте це

• це комбінований інтервал, а не два окремих внески в різницю (тому у нас є термін а не два, що вносять окремо і і ми припускаємо постійну дисперсію (тому ми не маємо справу з компромісом з - коли ми можемо мати дуже різні відхилення - а не асимптотичний випадок)$c.\sqrt{\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}}$$k.\sqrt{\frac{1}{n_{i}}}$$k.\sqrt{\frac{1}{n_j}}$$1.96$$1.96/\sqrt{2}$

• базується на засобах, а не на медіанах (так, ні 1,35)

• вона заснована на , яка базується в свою чергу , на найбільшій різниці середніх (так що навіть не будь-яка 1,96 частина в цьому, навіть один розділений на ). На відміну від порівняння декількох графіків коробки, ми не бачимо, що базувати виїмки на найбільшій різниці в медіанах, це все чисто попарно.$q$$\sqrt{2}$

Тож хоча декілька ідей, що стоять за формою компонентів, є дещо аналогічними, вони насправді зовсім інші, чим займаються.

[1] McGill, R., Tukey, JW та Larsen, WA (1978) Варіації графіків коробки. Американський статистик 32, 12–16.