Середнє значення оберненого експоненціального розподілу

З урахуванням випадкової величини , яка середня величина та дисперсія ?$Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

Я дивлюся на зворотний розподіл гамми, але середнє значення та дисперсія визначаються лише для та відповідно ...$\alpha>1$$\alpha>2$

Зважаючи на те, що обернене експоненціальне розподіл має , ви натрапили на той факт, що середнє значення зворотного експоненціалу . Отже, дисперсія оберненої експоненції не визначена.$\alpha = 1$$\infty$

Якщо обернено експоненціально розподілено, існує і є кінцевим при , а для .$G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Я покажу розрахунок середнього рівня експоненціального розподілу, щоб він нагадав вам підхід. Тоді я піду за зворотну Експоненцію з тим же підходом.

Дано$f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Інтегрування по частині (ігноруйте перед інтегралом на даний момент),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

Помножте на перед інтегралом,$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

Оцініть для і ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

Що є відомими результатами.

Для застосовується та ж логіка.$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

Основна відмінність полягає в тому, що для інтеграції по частинах,

$u = y^{-1}$

і

$du = -1y^{-2}$

тому це не допомагає нам для . Я думаю, інтеграл тут не визначений. Вольфрам альфа скажи мені, що він не збігається.$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

Отже, середнє значення не існує для зворотної Експоненціалі, або, що еквівалентно, для зворотної Гамми з . Причина подібна для дисперсії та .$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

Після швидкого моделювання (в R) здається, що середнє значення не існує:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Для порівняння, ось що відбувається з справжньою експоненціальною випадковою змінною.