Найпростіший спосіб знайти

Розглянемо 3 зразки iid, отримані з рівномірного розподілу , де параметр . Я хочу знайти де є порядком статистики . $u(\theta, 2\theta)$ $\theta$

E [X_{(2)} | X_{(1)}, X_{(3)}]

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right]$

X_{(i)}

$X_{(i)}$

i

$i$

Я б очікував, що результат буде Але єдиний спосіб, коли я можу показати цей результат, здається, занадто тривалий, я не можу придумати просте рішення, я щось пропускаю, чи є якийсь ярлик?

Е [Х_{(2)} | Х_{(1)}, Х_{(3)}] = \frac{Х_{(1)} + Х_{(3)}}{2}

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \frac{X_{(1)}+ X_{(3)}}{2}$

Що я роблю, це наступне:

Я знаходжу умовну щільність

$f (х_{(2)} | х_{(1)}, х_{(3)}) = \frac{f (х_{(1)}, х_{(2)}, х_{(3)})}{f (х_{(1)}, х_{(3)})}$ $f(x_{(2)}| x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{ f(x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f(x_{(1)}, x_{(3)})}$
Я інтегруюсь

Е [Х_{(2)} | Х_{(1)}, Х_{(3)}] = \int х f (х | х_{(1)}, х_{(3)}) г х

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \int x f(x| x_{(1)}, x_{(3)}) dx$

Деталі:

Я приймаю загальну формулу статистики щільності порядку (з показником множини ) $\mathbb{I}_{\{A\}}$ $A$

f_{х_{(1)}, \dots, х_{(н)}} (х_{1}, \dots, х_{н}) = н! \prod_{i = 1}^{н} f_{х} (х_{i}) Я_{{х_{(1)} \leq х_{(2)} \leq \dots \leq х_{(н)}}} (х_{1}, \dots, х_{н})

$f_{x_{(1)},\ldots , x_{(n)}}(x_1,\cdots, x_n) = n! \prod_{i=1}^n f_{x}(x_i)\mathbb{I}_{\{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}\}}(x_1,\cdots, x_n)$

отримати для моєї справи

f_{х_{(1)}, х_{(2)}, х_{(3)}} (х_{1}, х_{2}, х_{3}) = 3! \frac{1}{θ^{3}} Я_{{х_{1} \leq х_{2} \leq \dots \leq х_{н}}} (х_{1}, \dots, х_{3})

$f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(x_1, x_2, x_3) = 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n\}}(x_1,\cdots, x_3)$

маргінальні з є $f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v)$

f_{х_{(1)}, х_{(3)}} (у, v) = \int f_{х_{(1)}, х_{(2)}, х_{(3)}} (у, х_{2}, v) г х_{2}

$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(u, x_2, v) dx_2$

це є

f_{х_{(1)}, х_{(3)}} (у, v) = \int 3! \frac{1}{θ^{3}} Я_{{х_{1} = у \leq х_{2} \leq х_{3} = v}} (у, х, v) г х = 3! \frac{1}{θ^{3}} [v - у]

$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 = u \leq x_2 \leq x_3 = v\}}(u, x, v) dx = 3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]$

для цього

f (х_{(2)} | х_{(2)} = у, х_{(3)} = v) = \frac{f (х_{(1)} = у, х_{(2)}, х_{(3)} = v)}{f (х_{(1)} = у, х_{(3)} = v)} = \frac{3! \frac{1}{θ^{3}} Я_{у \leq х_{2} \leq \dots \leq v} (у, х_{2}, v)}{3! \frac{1}{θ^{3}} [v - у]} = [v - у]^{- 1} Я_{{у < х_{2} < v}}

$f(x_{(2)}| x_{(2)} = u, x_{(3)} = v) = \frac{ f(x_{(1)} = u, x_{(2)}, x_{(3)} = v)}{f(x_{(1)}= u, x_{(3)} = v)} = \frac{3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{u \leq x_2 \leq \cdots \leq v}(u,x_2, v) }{3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]}= [v-u]^{-1}\mathbb{I}_{\{u<x_2<v\}}$

що дає

Е [Х_{(2)} | Х_{(1)} = у, Х_{(3)} = v] = [v - у]^{- 1} \int_{у}^{v} х г х = [v - у]^{- 1} \frac{[v^{2} - у^{2}]}{2} = \frac{у + v}{2}

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)} = u, X_{(3)} = v\right] = [v-u]^{-1}\int_{u}^{v} x dx = [v-u]^{-1}\frac{ [v^2 - u^2]}{2} = \frac{u+v}{2}$

uniform conditional-expectation order-statistics

— їх
джерело

Я не дивився на те, що ви робили, але ви отримали відповідь , а не

\frac{u - v}{2}

$\frac{u - v}{2}$

\frac{u + v}{2}

$\frac{u + v}{2}$

— Марк Л. Стоун

@ MarkL.Stone ви маєте рацію ... Я виправив, що останній рядок, інтеграл був неправильним.

\int x d x

$\int x dx$

— їх

Оскільки всі мають рівномірний розподіл, всі (не упорядковані) змінні вважаються незалежними, і ніяка інша статистика порядку не лежить між і , має усічений рівномірний розподіл підтримується на інтервалі . Його середнє значення очевидно - , QED. $X_i$ $X_{(1)}$ $X_{(3)}$ $X_{(2)}$ $[X_{(1)}, X_{(3)}]$ $(X_{(1)}+X_{(3)})/2$

Якщо ви хочете отримати офіційну демонстрацію, зауважте, що коли iid з абсолютно безперервним розподілом , умовна щільність (умовна для всіх інших статистичних даних про порядок) дорівнює , що є усіченим розподілом. (Коли , вважається рівним ; а коли , вважається рівним ) Це випливає із спільного pdf функцій порядку наприклад, статистика разом з визначенням умовної щільності. $X_i$ $F$ $X_{(k)}$ $dF(x_k)/(F(x_{(k+1)}) - F(x_{(k-1)}))$ $k=1$ $F(x_{0})$ $0$ $k=n$ $F(x_{n+1})$ $1$

— дзижчати
джерело

whuber, коли ви пишете ви посилаєтесь на щільність ймовірності X, я прав?

d F (x_{k})

$dF(x_k)$

— їх

Так, це правильно. За визначенням, (Технічно я мав би назвати це "елементом ймовірності", а не "щільністю".)

г Ж (х) = \frac{г Ж}{г х} (х) г х .

$dF(x)=\frac{d F}{d x}(x)\,dx.$

— whuber