Інтервали довіри прогнозів для нелінійної змішаної моделі (nlme)

Я хотів би отримати 95% довірчі інтервали для прогнозів нелінійної змішаної nlmeмоделі. Оскільки для цього не передбачено нічого стандартного nlme, мені було цікаво, чи правильно використовувати метод "інтервалів прогнозування населення", як це викладено в книзі книги Бен Болкер в контексті моделей, що відповідають максимальній вірогідності , заснованих на ідеї перекомпонування параметрів фіксованого ефекту на основі дисперсійно-коваріаційної матриці пристосованої моделі, імітуючи прогнози на основі цього, а потім приймаючи 95% відсотків цих прогнозів, щоб отримати 95% довірчі інтервали?

Код для цього виглядає так: (я тут використовую дані "Loblolly" з nlmeдовідкового файлу)

library(effects)
library(nlme)
library(MASS)

fm1 <- nlme(height ~ SSasymp(age, Asym, R0, lrc),
    data = Loblolly,
    fixed = Asym + R0 + lrc ~ 1,
    random = Asym ~ 1,
    start = c(Asym = 103, R0 = -8.5, lrc = -3.3))

xvals=seq(min(Loblolly$age),max(Loblolly$age),length.out=100)
nresamp=1000
pars.picked = mvrnorm(nresamp, mu = fixef(fm1), Sigma = vcov(fm1)) # pick new parameter values by sampling from multivariate normal distribution based on fit
yvals = matrix(0, nrow = nresamp, ncol = length(xvals))

for (i in 1:nresamp) 
{
    yvals[i,] = sapply(xvals,function (x) SSasymp(x,pars.picked[i,1], pars.picked[i,2], pars.picked[i,3]))
} 

quant = function(col) quantile(col, c(0.025,0.975)) # 95% percentiles
conflims = apply(yvals,2,quant) # 95% confidence intervals

Тепер, коли я маю свої межі довіри, я створюю графік:

meany = sapply(xvals,function (x) SSasymp(x,fixef(fm1)[[1]], fixef(fm1)[[2]], fixef(fm1)[[3]]))

par(cex.axis = 2.0, cex.lab=2.0)
plot(0, type='n', xlim=c(3,25), ylim=c(0,65), axes=F, xlab="age", ylab="height");
axis(1, at=c(3,1:5 * 5), labels=c(3,1:5 * 5)) 
axis(2, at=0:6 * 10, labels=0:6 * 10)   

for(i in 1:14)
{
    data = subset(Loblolly, Loblolly$Seed == unique(Loblolly$Seed)[i])   
    lines(data$age, data$height, col = "red", lty=3)
}

lines(xvals,meany, lwd=3)
lines(xvals,conflims[1,])
lines(xvals,conflims[2,])

Ось сюжет із 95% довірчими інтервалами, отриманими таким чином:

Чи підходить цей підхід, чи існують інші чи кращі підходи для розрахунку 95% довірчих інтервалів за прогнозами нелінійної змішаної моделі? Я не зовсім впевнений, як боротися зі структурою випадкових ефектів моделі ... Чи повинен бути середній показник, можливо, за рівнем випадкових ефектів? Або було б нормально мати інтервали довіри для середнього предмета, які, здавалося б, ближче до того, що я маю зараз?

Те, що ви тут зробили, виглядає розумним. Коротка відповідь полягає в тому, що здебільшого питання прогнозування довірчих інтервалів від змішаних моделей та від нелінійних моделей є більш-менш ортогональними , тобто потрібно турбуватися про обидва набори проблем, але вони не мають (що я знаю ) взаємодіяти будь-якими дивними способами.

• Проблеми змішаної моделі : ви намагаєтесь передбачити на рівні населення чи групи? Як ви враховуєте мінливість параметрів випадкових ефектів? Ви обумовлюєтесь спостереженнями на рівні групи чи ні?
• Проблеми з нелінійною моделлю : чи нормальне розподіл вибірки параметрів? Як я можу пояснити нелінійність під час поширення помилки?

Я вважаю, що ви прогнозуєте на рівні населення та будуєте інтервали довіри як рівень населення - іншими словами, ви намагаєтеся побудувати прогнозовані значення типової групи, не враховуючи різницю між групами у вашій впевненості інтервали. Це спрощує проблеми зі змішаною моделлю. На наступних графіках порівнюються три підходи (див. Нижче для скидання коду):

• Інтервали прогнозування кількості населення : це підхід, який ви спробували вище. Він передбачає, що модель правильна і що розподіли вибірки параметрів фіксованого ефекту є багатоваріантними нормальними; він також ігнорує невизначеність параметрів випадкових ефектів
• завантажувальна програма : я реалізував ієрархічну завантажувальну систему; ми поновлюємо вибір як на рівні груп, так і всередині груп. Відбір проб всередині групи відбирає залишки та додає їх до прогнозів. Такий підхід робить найменшими припущення.
• дельта-метод : це передбачає як багатоваріантну нормальність розподілу вибірки, так і те, що нелінійність є досить слабкою, щоб дозволити наближення другого порядку.

Ми також могли б зробити параметричне завантаження ...

Ось КІ, накреслені разом із даними ...

... але ми навряд чи можемо побачити відмінності.

Збільшення масштабу за рахунок віднімання прогнозованих значень (червоний = завантажувальний, синій = ІПП, синій = метод дельти)

У цьому випадку інтервали завантаження фактично є найвужчими (наприклад, імовірно, розподіл вибірки параметрів насправді трохи тонше хвостовий, ніж нормальний), в той час як інтервали ІПП та дельта-методу дуже схожі між собою.

library(nlme)
library(MASS)

fm1 <- nlme(height ~ SSasymp(age, Asym, R0, lrc),
            data = Loblolly,
            fixed = Asym + R0 + lrc ~ 1,
            random = Asym ~ 1,
            start = c(Asym = 103, R0 = -8.5, lrc = -3.3))

xvals <-  with(Loblolly,seq(min(age),max(age),length.out=100))
nresamp <- 1000
## pick new parameter values by sampling from multivariate normal distribution based on fit
pars.picked <- mvrnorm(nresamp, mu = fixef(fm1), Sigma = vcov(fm1))

## predicted values: useful below
pframe <- with(Loblolly,data.frame(age=xvals))
pframe$height <- predict(fm1,newdata=pframe,level=0)

## utility function
get_CI <- function(y,pref="") {
    r1 <- t(apply(y,1,quantile,c(0.025,0.975)))
    setNames(as.data.frame(r1),paste0(pref,c("lwr","upr")))
}

set.seed(101)
yvals <- apply(pars.picked,1,
               function(x) { SSasymp(xvals,x[1], x[2], x[3]) }
)
c1 <- get_CI(yvals)

## bootstrapping
sampfun <- function(fitted,data,idvar="Seed") {
    pp <- predict(fitted,levels=1)
    rr <- residuals(fitted)
    dd <- data.frame(data,pred=pp,res=rr)
    ## sample groups with replacement
    iv <- levels(data[[idvar]])
    bsamp1 <- sample(iv,size=length(iv),replace=TRUE)
    bsamp2 <- lapply(bsamp1,
        function(x) {
        ## within groups, sample *residuals* with replacement
        ddb <- dd[dd[[idvar]]==x,]
        ## bootstrapped response = pred + bootstrapped residual
        ddb$height <- ddb$pred +
            sample(ddb$res,size=nrow(ddb),replace=TRUE)
        return(ddb)
    })
    res <- do.call(rbind,bsamp2)  ## collect results
    if (is(data,"groupedData"))
        res <- groupedData(res,formula=formula(data))
    return(res)
}

pfun <- function(fm) {
    predict(fm,newdata=pframe,level=0)
}

set.seed(101)
yvals2 <- replicate(nresamp,
                    pfun(update(fm1,data=sampfun(fm1,Loblolly,"Seed"))))
c2 <- get_CI(yvals2,"boot_")

## delta method
ss0 <- with(as.list(fixef(fm1)),SSasymp(xvals,Asym,R0,lrc))
gg <- attr(ss0,"gradient")
V <- vcov(fm1)
delta_sd <- sqrt(diag(gg %*% V %*% t(gg)))
c3 <- with(pframe,data.frame(delta_lwr=height-1.96*delta_sd,
                             delta_upr=height+1.96*delta_sd))

pframe <- data.frame(pframe,c1,c2,c3)

library(ggplot2); theme_set(theme_bw())
ggplot(Loblolly,aes(age,height))+
    geom_line(alpha=0.2,aes(group=Seed))+
    geom_line(data=pframe,col="red")+
    geom_ribbon(data=pframe,aes(ymin=lwr,ymax=upr),colour=NA,alpha=0.3,
                fill="blue")+
    geom_ribbon(data=pframe,aes(ymin=boot_lwr,ymax=boot_upr),
                colour=NA,alpha=0.3,
                fill="red")+
    geom_ribbon(data=pframe,aes(ymin=delta_lwr,ymax=delta_upr),
                colour=NA,alpha=0.3,
                fill="cyan")


ggplot(Loblolly,aes(age))+
    geom_hline(yintercept=0,lty=2)+
    geom_ribbon(data=pframe,aes(ymin=lwr-height,ymax=upr-height),
                colour="blue",
                fill=NA)+
    geom_ribbon(data=pframe,aes(ymin=boot_lwr-height,ymax=boot_upr-height),
                colour="red",
                fill=NA)+
    geom_ribbon(data=pframe,aes(ymin=delta_lwr-height,ymax=delta_upr-height),
                colour="cyan",
                fill=NA)