Перевірка на значну різницю співвідношень нормально розподілених випадкових величин

Пов'язано з аналізом коефіцієнтів змінних та Як параметризувати відношення двох нормально розподілених змінних або зворотну одну? .

Припустимо, у мене є декілька зразків із чотирьох різних безперервних випадкових розподілів, які ми можемо вважати приблизно нормальними. У моєму випадку вони відповідають деяким показникам продуктивності двох різних файлових систем (скажімо, ext4 та XFS), як із шифруванням, так і без нього. Метрикою може бути, наприклад, кількість файлів, створених за секунду, або середня затримка для деяких файлових операцій. Можна припустити, що всі зразки, отримані з цих розподілів, завжди будуть суто позитивними. Назвемо ці дистрибуції де та .$\textrm{Perf}_{fstype,encryption}$$fstype \in \{xfs,ext4\}$$encryption \in \{crypto,nocrypto\}$

Тепер моя гіпотеза полягає в тому, що шифрування сповільнює одну з файлових систем більшим фактором, ніж іншу. Чи є якийсь простий тест на гіпотезу ?$\frac{E[\textrm{Perf}_{xfs,crypto}]}{E[\textrm{Perf}_{xfs,nocrypto}]} < \frac{E[\textrm{Perf}_{ext4,crypto}]}{E[\textrm{Perf}_{ext4,nocrypto}]}$

Однією з альтернатив точної відповіді Стаска є використання тесту на перестановку. Першим кроком є ​​визначення тестової статистики , можливо:$T$

$T = \frac{\widehat{Perf}_{ext4,crypto}}{\widehat{Perf}_{ext4,nocrypto}} - \frac{\widehat{Perf}_{xfs,crypto}}{\widehat{Perf}_{xfs,nocrypto}}$

де - це, мабуть, середнє значення вибірки спостережень тощо. (Це відповідає вашому визначенню гіпотези як співвідношення очікування, а не альтернативна можливість очікування співвідношення - якою альтернативою може бути те, що ви дійсно хочете.) Другим кроком є ​​безладна перестановка міток у даних багато разів, скажімо, та обчислюють для кожної перестановки. Останнім кроком є ​​порівняння початкового із спостережуваним ; перестановка оціненого р-значення буде частка . $\widehat{Perf}_{ext4,crypto}$$\text{Perf}_{ext4,crypto}$$ext4, \space xfs$$i=1, \dots, 10000$$T_i$$T$$T_i$$T_i \leq T$

Тест на перестановку позбавить вас від опори на асимптотику, але, звичайно, залежно від розміру вибірки (і даних, звичайно, також), метод дельти, який я також періодично використовую, може працювати чудово.

Ви можете обчислити (асимптотичну) стандартну похибку співвідношення за допомогою методу delta . Якщо у вас є дві випадкові змінні і такі у розподілі (що було б у випадку, якщо у вас є незалежні дані, але це також має місце в більш загальному випадку кластерні дані, коли ви виконували свої тести на різних машинах), то для співвідношення з аналогом нас є $X$$Y$

$$\sqrt{n}\left(\begin{array}{c} \bar X-\mu_X \\ \bar Y-\mu_Y\end{array}\right) \rightarrow N\left( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right), \left( \begin{array}{cc} \sigma_{XX} & \sigma_{XY} \\ \sigma_{XY} & \sigma_{YY} \end{array} \right) \right)$$ $r=\bar Y/\bar X$$r_o = \mu_Y/\mu_X$ $$\sqrt{n}(r-r_0) \to N(0,\frac{\mu_Y^2}{\mu_X^4}\sigma_{XX} - 2\frac{\mu_Y}{\mu_X^3}\sigma_{XY} + \frac1{\mu_X^2}\sigma_{YY})$$ Якщо і незалежні, як це можна вважати у вашому випадку, тоді цей вираз дещо спрощується, випадаючи , так ми отримуємо , що квадратичні коефіцієнти варіації підсумувати: Це має додатковою перевагою є те, що розміри вибірки можуть бути різними. Крім того, якщо ваші RHS та LHS є незалежними, ви можете сформувати -test статистику для$X$$Y$$\sigma_{XY}$ $${\rm CV}^2[r] = {\rm CV}^2[\bar X] + {\rm CV}^2[\bar Y]$$ $z$$H_0:$ немає різниці, беручи різницю коефіцієнтів і діливши її на відповідну стандартну похибку, отриману з цих резюме.

Я сподіваюся, що ви можете взяти його звідти і виконати решту зворотних обчислень конвертів, щоб отримати остаточну формулу.

Зауважимо, що результат є асимптотичним, а відношення - упередженим у малих вибірках. Зсув має порядок і зникає асимптотично в порівнянні з мінливістю вибірки, що має порядок .$r$$r_0$$O(1/n)$$O(1/\sqrt{n})$

Співвідношення нормальних змінних розподілено Коші. Знаючи це, ви можете просто провести тест на фактор Байеса.

Це була досить спонтанна ідея. Зараз я не впевнений у механізмі генерації даних. Ви встановлюєте різні файлові системи на одному ПК та потім орієнтуєтесь на два випадки, щоб ми могли припустити ієрархічну структуру даних?

Крім того, я не впевнений, що шукати співвідношення насправді має сенс.

А потім ви написали співвідношення очікуваних значень, тоді як я подумав про очікуване значення коефіцієнтів. Я думаю, мені потрібна додаткова інформація про генерування даних, перш ніж рухатись далі.

У випадках, коли ви не можете виконати перестановки, наприклад, коли розмір вибірки створює мільйони можливостей, іншим рішенням буде Монте-Карло.

Нульова гіпотеза полягає в тому, що різниці в швидкості між ними немає $ext4$ і $xfs$, для $nocrypto$ і $crypto$. Тому середнє співвідношення$\frac{ext4}{xfs}$ з всіх $nocrypto$ зразки не відрізняються від зразків $crypto$.

$H_{0}:T_{observed}=\frac{\sum x_{nocrypto} }{n_{nocrypto}}-\frac{\sum x_{crypto} }{n_{crypto}}=0$

де $x=\frac{ext4}{xfs}$

і $n=sample\, size$

Якщо $H_{0}$ вірно, випадковим чином підбираючи результати для співвідношень $nocrypto$ або $crypto$ також призведе до $T_{observed}=0$. Можна було б обчислити:

$T_{resampling}=\frac{x_{1}^{random}{+ x}_{n}^{random}}{n_{nocrypto}}-\frac{x_{1}^{random}{+ x}_{n}^{random}}{n_{crypto}}$

і виконати, скажімо, 10 000 раундів переустановки. Отриманий розподіл $T_{resampling}$ Значення - довірчий інтервал для $H_{0}$. Різниця між$nocrypto$ і $crypto$ Коефіцієнт є значущим, якщо розрахований $T_{observed}$ значення лежить поза діапазоном, наприклад, 95% $(p < 0.05)$ з $T_{resampling}$ значення.