Регресія на одиничному диску, починаючи з «рівномірно розташованих» зразків

Мені потрібно вирішити складну проблему регресії на одиничному диску. Оригінальне запитання привернуло кілька цікавих коментарів, але на жаль жодної відповіді. Тим часом я дізнався щось більше про цю проблему, тому спробую розділити початкову проблему на підпрограми та побачити, чи мені в цей час пощастить більше.

У мене 40 датчиків температури регулярно розташовані у вузькому кільці всередині диска:

Ці датчики з часом набувають температури. Однак, оскільки коливання часу набагато менше, ніж варіація простору, давайте спростимо проблему, ігноруючи мінливість часу, і припустимо, що кожен датчик дає мені лише середній час. Це означає, що у мене 40 зразків (по одному на кожен датчик) і у мене немає повторних зразків.

Я хотів би побудувати регресійну поверхню $T=f(\rho,\theta)+\epsilon$з даних датчика. Регресія має дві цілі:

1. Мені потрібно оцінити профіль середньої радіальної температури $T_{mean}=g_1(\rho)+\epsilon$. При лінійній регресії я вже оцінюю поверхню, яка є середньою температурою поверхні, тому мені потрібно лише інтегрувати свою поверхню стосовно$\theta$, правда? Якщо я використовую поліноми для регресії, цей крок повинен бути шматочком пирога.
2. Мені потрібно оцінити радіальний температурний профіль $T_{95}=g_2(\rho)+\epsilon$, таким чином, що в кожному радіальному положенні, $P(T(\rho)<T_{95}(\rho))=.95$.

З огляду на ці дві цілі, яку техніку я повинен використовувати для регресії на одиничному диску? Звичайно, для просторової регресії зазвичай використовують Гауссові процеси. Однак визначення хорошого ядра для одиничного диска не є тривіальним, тому я хотів би зробити прості речі та використовувати поліноми, якщо ви не відчуваєте, що це втрачаюча стратегія. Я читав про поліноми Зерніке . Поліноми Зерніке здаються підходящими для регресії на одиничному диску, оскільки вони періодичні$\theta$.

Після вибору моделі мені потрібно вибрати процедуру оцінки. Оскільки це проблема просторової регресії, помилки в різних місцях повинні бути співвіднесені. Звичайні найменші квадрати припускають некорельовані помилки, тому я думаю, узагальнені найменші квадрати були б більш доречними. GLS здається порівняно поширеною статистичною технікою, враховуючи, що glsфункція є в стандартному розподілі R. Однак я ніколи не використовував GLS, і маю сумніви. Наприклад, як я оцінюю матрицю коваріації? Опрацьований приклад, навіть з кількома датчиками, був би чудовим.

PS Я вирішив використовувати поліноми Zernike і GLS, тому що мені здається, що тут логічно робити. Однак я не експерт, і якщо ви відчуваєте, що я йду в неправильному напрямку, сміливо використовуйте зовсім інший підхід.

Я думаю, ви на правильному шляху, думаючи про щось на зразок поліномів Зерніке. Як зазначається у відповіді jwimberly, це приклад системи ортогональних базових функцій на диску. Мені не знайомі поліноми Зерніке, але багато інших сімейств ортогональних функцій (включаючи функції Бесселя) виникають природним чином у класичній математичній фізиці як власні функції для певних часткових диференціальних рівнянь (під час написання цього тексту анімація у верхній частині цього зв’язку навіть показаний приклад вібраційної головки барабана).

На думку приходять два питання. По-перше, якщо все, що вам потрібно, це радіальний профіль ($\theta$усереднено), то скільки обмежень на просторовий зразок вам потрібно? По-друге, які типи змінності зустрічаються в просторово-часових даних?

Що стосується першого питання, то виникають дві проблеми. Завдяки полярним координатам область підтримки кожного датчика має тенденцію до$r$. Друге занепокоєння полягало б у можливості згладжування , по суті, неправильного вирівнювання датчиків відносно фази схеми (використовувати аналогію Фур’є / Бесселя). Зауважте, що згладжування, ймовірно, буде первинною невизначеністю у обмеженні пікових температур (тобто$T_{95}$).

З точки зору цього другого питання, мінливість даних насправді може допомогти у вирішенні будь-яких проблемних питань, по суті дозволяє дозволити будь-яке неправильне вирівнювання в середньому за різні вимірювання. (Якщо припустити відсутність систематичної упередженості ... але це було б проблемою для будь-якого методу, без, наприклад, фізичної моделі, щоб дати більше інформації).

Отже, однією з можливостей буде визначення ваших просторових ортогональних функцій виключно у місцях розташування датчика. Ці "емпіричні ортогональні функції" можна обчислити за допомогою PCA на вашій просторово-часовій матриці даних. (Можливо, ви могли б використовувати деяку вагу для врахування областей підтримки змінних датчиків, але, зважаючи на рівномірну полярну сітку та ціль радіальних середніх значень, це може не знадобитися.)

Зверніть увагу , що якщо є якесь - або дані фізичне моделювання , доступна для «очікуваних» варіацій температури, доступний на щільну сітці просторово - тимчасової розрахункової, то та ж сама процедура PCA може бути застосована до цієї інформації для отримання ортогональних функцій. (Це, як правило, називається " правильне ортогональне розкладання " в техніці, де воно використовується для скорочення моделі, наприклад, дорога модель обчислювальної динаміки рідини може бути відгонена для використання в подальшій проектній діяльності.)

Остаточний коментар, якби ви зважували дані датчика за площею підтримки (тобто розміром полярної комірки), це буде тип діагональної коваріації в рамках GLS . (Це стосуватиметься вашої проблеми прогнозування, хоча зважена PCA буде тісно пов'язана.)

Я сподіваюся, що це допомагає!

Оновлення: Ваша нова схема розподілу датчиків значно змінює мою думку. Якщо ви хочете оцінити температуру в інтер'єрі диска, вам знадобиться набагато більш інформативний поперед, ніж просто "набір ортогональних функцій на одиничному диску". Інформація в датчиках є занадто мало.

Якщо ви дійсно хочете оцінити зміни просторової температури на диску, єдиний розумний спосіб, який я бачу, - це трактувати проблему як один із даних щодо засвоєння даних . Тут вам потрібно, принаймні, обмежувати параметричну форму просторового розподілу, засновану на деяких міркуваннях, заснованих на фізиці (це може бути з симуляцій, або може бути з суміжних даних у системах зі схожою динамікою).

Я не знаю конкретного додатка, але якщо це що - щось на зразок цього , то я припустив би , що існує велика інженерна література , яку ви могли б спиратися , щоб вибрати відповідні попередні обмеження. (Для такого роду детальних знань про домен, мабуть, це не найкращий сайт StackExchange.)

Поліноми Zernlike не здаються поганим вибором, оскільки вони вже є $r$ і $\theta$залежність та ортогональність, приготовані. Однак, оскільки ви вивчаєте температуру, можливо більш правильним і більш відомим вибором будуть функції Бесселя . Вони з'являються при дослідженні теплового потоку в циліндричних об'єктах / системах координат, і тому існує ймовірність, що вони є фізично більш доречними. N-а функція Бесселя дала б радіальну залежність, пов'язану з відповідною тригонометричною функцією для полярної залежності; Ви можете знайти деталі у багатьох підручниках з фізики та PDE.