Якщо у мене очікуване значення логарифма РВ, чи можу я отримати очікувану величину самого РВ?

Припустимо, що $\text{E}[\log(X)]$ дається, чи можу я вивести $\text{E}[X]$ у форматі закритого типу?

expected-value logarithm

Чи знаєте ви розподіл журналу x чи x? Напр. є є

x

$x$ нормально розподіляється? У найбільш загальному випадку с

x

$x$ Після деякого довільного розподілу ви не зможете багато чого сказати.

— Меттью Ганн

Ні. Наведено лише середнє значення журналу (x).

— Теоден

Ви можете сказати, що все, що ви можете сказати

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$ через нерівність Дженсена .

— Меттью Ганн

Ні.

Наприклад, якщо $X$ слід нормального розподілу журналу, де $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ , тоді $E[\log(x)] = \mu$ і не залежить від $\sigma$ . Однак його значення є $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ . Зрозуміло, ви не можете отримати a $\sigma$ залежне число від a $\sigma$ незалежне число.

— jwimberley
джерело

Це має сенс. Тоді мені потрібно більше інформації.

— Теоден

Або для надзвичайно простого прикладу розглянемо дискретні випадкові величини X (приймаючи значення 1 з вірогідністю 1/3 та 10 з ймовірністю 2/3) та Y (приймаючи значення 1 з вірогідністю 2/3 та 100 з вірогідністю 1/3) . Тоді E [log X] = E [log Y] = 1/3 (або якесь інше число, якщо ви віддаєте перевагу вашим логарифмам, прийнятим до більш чутливої основи, ніж 10, але все одно рівній, оскільки в будь-якому базовому журналі 100 = 2 log 10). Однак E [X]! = E [Y].

— Стів Джессоп