Чи означає = режим означає симетричний розподіл?

30

Я знаю, що це запитання було задано із випадком середня = медіана, але я не знайшов нічого, пов’язаного зі значенням = режим.

Якщо режим дорівнює середньому, чи можу я завжди зробити висновок, що це симетричний розподіл? Чи змушений я знати також медіану для цієї манери?

— ципі
джерело

stats.stackexchange.com/questions/125084

— whuber

2

Багато біноміальних розподілів перекошені, але мають середнє значення = режим.

— Нік Кокс

62

Середній = режим не означає симетрію.

Навіть якщо середній = середній = режим, ви все одно не обов'язково маєте симетрію.

І в очікуванні можливого подальшого спостереження - навіть якщо середній = середній = режим, а третій центральний момент дорівнює нулю (тому косоокість моменту дорівнює 0), ви все одно не маєте симетричності.

... але це було наступне. NickT запитав у коментарях, чи вистачало всіх непарних моментів нульових, щоб вимагати симетрії. Відповідь на це також - ні. [Дивіться дискусію наприкінці. ] $^\dagger$

Ці різні речі мають на увазі симетрію (якщо припустимо, що відповідні моменти є кінцевими), але це означає, що не йде іншим шляхом - незважаючи на те, що елементарний текст чітко говорить про інше або про одне з них.

Контрприклади досить тривіально побудувати.

Розглянемо наступний дискретний розподіл:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

Він має середній, медіанний, режимний і третій центральний момент (а отже, і косий момент), всі 0, але це несиметрично.

Такий приклад може бути зроблений і з суцільно постійним розподілом. Наприклад, ось щільність з тими ж властивостями:

Це суміш симетричних трикутних густин (кожна з діапазоном 2) із значеннями при -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 і вагою суміші 0,08, 0,08, 0,12, 0,08, 0,28, 0,08 , 0,08, 0,20 відповідно. Той факт, що я щойно робив це зараз - ще ніколи не бачив цього - говорить про те, як просто побудувати ці випадки.

[Я вибрав компоненти трикутної суміші для того, щоб режим був візуально однозначним - можна було використовувати більш плавне розподіл.]

Ось додатковий дискретний приклад для вирішення питань Гонга Оя про те, наскільки далеко від симетрії ці умови дозволяють вам дістати. Це аж ніяк не обмежуючий випадок, це просто ілюструє, що зробити менш прикладним симетричним прикладом просто:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

Шип при 0 може бути зроблений відносно вище або нижче без зміни умов; аналогічно точку праворуч можна розмістити далі (зі зменшенням ймовірності), не змінюючи відносних висот на 1 і -2 на багато (тобто їх відносна ймовірність залишатиметься близькою до відношення 2: 1, коли ви рухаєтеся праворуч елемент про).

Детальніше про відповідь на запитання NickT

$\dagger$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

7

Я думаю, що мораль цієї історії полягає в тому, що симетрія є сильною властивістю і її неможливо вивести з кількох типових підсумкових значень розподілу.

— Кодіолог

Цікавим питанням може бути те, наскільки "близькими" до симетрії ви зможете отримати ці властивості. Дивлячись на ваш дискретний приклад, це свого роду симетричне з горбком посередині.

— Hong Ooi

@HongOoi Я очікую, що ти маєш намір запитати, як далеко ти можеш досягти, а не як близько (оскільки, очевидно, ти можеш зробити його ідеально симетричним у будь-який час). Ви можете зробити це набагато асиметричнішим, ніж мій приклад - це був просто зручний випадок.

— Glen_b -Встановіть Моніку

@HongOoi Я додав ще один приклад.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Якщо всі (непарні?) Моменти за межами дисперсії дорівнюють 0, чи станеться це лише в тому випадку, якщо є симетричний розподіл?

— Нік Т

18

\begin{aligned} X & = {2, 3, 5, 5, 10} \\ m e a n (X) & = 5 \\ m e d i a n (X) & = 5 \\ m o d e (X) & = 5 \end{aligned}

$\begin{align} X &= \{2,3,5,5,10\} \\[10pt] {\rm mean}(X) &= 5 \\ {\rm median}(X) &= 5 \\ {\rm mode}(X) &= 5 \end{align}$

Я б не назвав це розподіл симетричним.

— gung - Відновити Моніку
джерело

10

Ні.

$X$ $p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$ $p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$ $p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$ $X$

— Кодіолог
джерело

5

Щоб повторити відповідь, я дав в іншому місці , але тут також підходить:

П (Х = н) = {\begin{cases} 0,03 & н = - 3 \\ 0,04 & н = - 2 \\ 0,25 & н = - 1 \\ 0,40 & н = 0 \\ 0,15 & н = 1 \\ 0,12 & н = 2 \\ 0,01 & н = 3 \end{cases}

$\mathbb{P}(X=n) = \left\{ \begin{array}{ll} 0.03 & n=-3 \\ 0.04 & n=-2 \\ 0.25 & n=-1 \\ 0.40 & n=0 \\ 0.15 & n=1 \\ 0.12 & n=2 \\ 0.01 & n=3 \end{array} \right.$

який не тільки має середнє значення, медіану і режим, які всі рівні, але також має нульовий нахил. Можливе багато інших версій.

— Генрі
джерело