Як співвідношення очікуваного значення з середнім, середнім і т. Д. В ненормальному розподілі?

9

Яким чином очікуване значення безперервної випадкової величини пов'язане з середньою арифметичною, медіаною тощо у ненормальному розподілі (наприклад, перекос-нормаль)? Мене цікавлять будь-які поширені / цікаві дистрибуції (наприклад, log-normal, прості бі / мультимодальні дистрибутиви, все інше дивне та чудове).

Я здебільшого шукаю якісні відповіді, але будь-які кількісні чи формульні відповіді також вітаються. Я особливо хотів би бачити будь-які візуальні зображення, які роблять це зрозумілішим.

mean expected-value median

— naught101
джерело

Ви можете бути трохи зрозумілішим? Середнє арифметичне та медіана - це функції, які ми застосовуємо до даних, а не що-небудь властиве певним розподілам ... наприклад, для обчислення середнього рівня вибірки дані не повинні бути нормальними.

— гість

Гаразд, технічно питання має бути таким: "як очікуване значення стосується середнього, медіанного тощо даних, отриманих випадковим чином з певного розподілу ймовірностей?" Я шукаю прості, інтуїтивні розуміння, подібні до того, як ви можете інтуїтивно сказати, що коли розподіл більше перекошений, медіана і середнє значення знаходяться далі, і медіана може дати кращу інформацію про те, де лежать дані.

— naught101

Хе. Дякую Марко. Я чітко читав речі неправильно. Можна також написати, що як відповідь я обрав його найкращим чином.

— naught101

8

(частково перетворений з мого тепер видаленого коментаря)

Очікуване значення і середнє арифметичне - це абсолютно те саме. Медіана пов'язана із середнім значенням нетривіально, але ви можете сказати кілька речей про їх відношення:

коли розподіл симетричний, середня і медіана однакові
коли розподіл негативно перекошений, медіана зазвичай більша за середню
коли розподіл позитивно перекошений, медіана зазвичай менша за середню

— Макрос
джерело

Цікаво. Які приклади є незвичною поведінкою негативно перекошеного розподілу, коли середня величина більша за медіану?

— naught101

@ naught101: це друкарська помилка? Негативно нахилений розподіл - це такий, коли результати зліва від центру трапляються частіше, ніж результати правого центру, і тому "хвіст" результатів низької частоти виходить праворуч. У такій ситуації горб зліва завжди буде тягнути (арифметичне) середнє ліворуч від центру, тоді як хвіст праворуч буде тримати медіану більше середньої.

— Асад Ебрагім

@AssadEbrahim: Ні, це було посиланням на коментар Макрона "медіана зазвичай більша за середню" - я просив зустрічних прикладів.

— naught101

@ naught101: зустрічними прикладами у випадку одномовного розподілу є його наступний рядок: коли горб справа, то хвіст зліва тягне медіану нижче середнього. Чим довший хвіст, тим більший розрив між середньою і середньою величиною.

— Асад Ебрагім

1

Які практичні обставини, в яких можна було б використовувати медіану над середнім чи навпаки? Наприклад, в аналізі виживання, коли життя йде за експоненціальним розподілом, чи слід використовувати медіану (так що половина речі триває довше, половина - менше) або середню ("очікуване" життя), якщо мені доведеться передбачити життя / смерть як бінарне результат?

— drevicko

5

Існує приємний взаємозв'язок між гармонічним, геометричним та арифметичним середнім середньочастотною розподіленою випадковою змінною . Дозволяє $X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$

$\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$ (середня гармоніка),
$\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$ (середнє геометричне значення),
$\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$ (середнє арифметичне).

Не важко побачити, що добуток гармоніки та середнього арифметичного значення дає квадрат середнього геометричного, тобто

$Н М (Х) \cdot А М (Х) = {Г М}^{2} (Х) .$ $\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$

Оскільки всі значення є позитивними, ми можемо взяти корінь сквера і виявити, що середнє геометричне значення - це середнє геометричне значення середнього гармонічного рівня та середнє арифметичне $X$ $X$ $X$ , тобто

$Г М (Х) = \sqrt{Н М (Х) \cdot А М (Х)} .$ $\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$

Крім того, відома нерівність HM-GM-AM

$Н М (Х) \leq Г М (Х) \leq А М (Х)$ $\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$

можна виразити як

$Н М (Х) \cdot \sqrt{Г V а r (Х)} = Г М (Х) = \frac{А М (Х)}{\sqrt{Г V а r (Х)}},$ $\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$

де - геометрична дисперсія. $\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$

— Бьорн Фрідріх
джерело

1

Для повноти існують також розподіли, середні значення яких недостатньо визначені. Класичний приклад - розподіл Коші ( ця відповідь має приємне пояснення чому). Ще один важливий приклад - розподіл Парето з експонентом менше 2.

— древичко
джерело

1

Кілька іффів. Закон про владу - це не розподіл, а розподіл Парето - закон про владу. Це стосується неінтеграції функції силового випуску в журналі

x = 0

$x=0$ . Під законом про владу ви маєте на увазі менше 2, а не більше 2.

— Карл

@Carl хороші моменти - відповідь я змінив відповідно. Many thx (:

— drevicko

0

Хоча правильно, що середнє значення математичного значення та очікування визначено однаково, для перекошеного розподілу ця умова іменування стає оманливою.

Уявіть, що ви питаєте подругу про ціни на житло в її місті, тому що вам там дуже подобається і насправді думаєте про переїзд до цього міста.

Якщо розподіл призів на житло було одномодальним та симетричним, то ваш друг може сказати вам середню ціну будинків, і ви, справді, можете розраховувати знайти більшість будинків на ринку навколо цієї середньої вартості.

Однак, якщо розподіл цін на житло є неоднорідним та перекошеним, наприклад, праворуч із більшості будинків нижнього цінового діапазону зліва та лише з деякими непомірними будинками праворуч, тоді середнє значення буде «перекошене» до високих цін на право.

Для цього однодушного, перекошеного розподілу цін на будинки ви можете розраховувати знайти більшість будинків на ринку навколо медіани .

— Сол Хатор
джерело

1

Незрозуміло, що ви маєте на увазі, коли ви говорите про перекошені одномодальні розподіли, розподіл цін на будинки має ціни приблизно середні. Можна сказати, що половина значень буде на медіані або нижче, а половина буде на медіані або вище. Це не вказує, наскільки близькі ці значення до середніх.

— Майкл Р. Черник

Я вважаю, що ваше останнє речення повинно закінчуватися "медіаною"? Якщо так, я вважаю очевидним, що медіана має бути (досяжним) значенням, найближчим до середнього (яке може бути недосяжним, наприклад, ціною на житло) випадкової вибірки, взятої з описаної вище сукупності. Тобто медіана в середньому найближча до тієї середньої вибірки. Якщо це не так, я не заявляв про те, наскільки ці значення близькі до середнього. Я зробив претензію щодо їх відстані до медіани.

— Сол Хатор