Використовуйте для перевірки гіпотези, що оскільки швидкість конвергенції?

Припустимо, у мене це iid, і я хочу зробити тест на гіпотезу, що дорівнює 0. Припустимо, у мене є великий n і я можу використовувати теорему центрального граничного значення. Я також міг би зробити тест, що дорівнює 0, що має бути еквівалентно тестуванню, що дорівнює 0. Далі, переходить до chi-квадрата, де переходить до норми. Оскільки має більш високий коефіцієнт конвергенції, чи не слід використовувати це для тестової статистики, і, таким чином, я отримаю швидший коефіцієнт конвергенції, і тест буде більш ефективним? $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

Я знаю, що ця логіка неправильна, але я довго думав і шукав і не можу зрозуміти, чому.

hypothesis-testing convergence delta-method

— Сюй Ван
джерело

Не ясно, що ви просите. Чи можете ви пояснити, у якому сенсі швидкість конвергенції "швидша", ніж у ? Як ви вимірюєте ставку? Яку статистичну інформацію ви використовуєте в двох тестах? Очевидно, що цей вибір може змінити значення.

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber дякую за запитання. Я стверджую, що "швидша швидкість", оскільки n більша, ніж квадратний корінь n. Це інтуїція неправильна? Маю на увазі статистику тесту X-bar або X-bar.

— Сюй Ван

Я думаю, ти зосереджуєшся на неправильній справі. Ця швидкість говорить про те, як швидко розподіл вибірки наближається до обмежувального - або стандартного нормального, або . Оскільки великий, його значення практично не має різниці - це не має значення. Питання стосується потужності кожного тесту, а не того, наскільки наближена статистика тесту до граничного розподілу.

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

n

$n$

— whuber

@whuber дякую за ці деталі. Я думав про них, але все ще не розумію. Чи не зрештою приблизна дисперсія X-bar ^ 2 буде меншою, ніж приблизна дисперсія X-бар? І чи не результат X-bar ^ 2 має більшу швидкість конвергенції, ніж X-бар? Мені шкода, що не побачив моїх принципових непорозумінь. Я знаю, що є щось велике, чого я пропускаю, і сподіваюся виправити таке мислення.

— Сюй Ван

Не має значення, чи приблизна дисперсія більша чи менша, тому що важливим є розподіл статистики. Щоб побачити це, розглянемо t-тест для з проти . Статистика завжди має відхилення 100x, ніж , але нормалізація призводить до обох фактичних статистичних даних тесту, розподілених . У вашому випадку пам’ятайте, що квадратування змінної дає змінну . На межі, це перетворення означає, що два випробування однакові за потужністю за заданим рівнем.

μ = 0

$\mu = 0$

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$

\bar{y}

$\bar{y}$

\bar{x}

$\bar{x}$

t (n - 1)

$t(n-1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2}

$\chi^2$

— jbowman

Обидва описані вами тести є рівнозначними.

Якщо у мене дві гіпотези:

H_{0} : μ = 0

$H_0: \mu=0$

H_{1} : μ \neq 0

$H_1: \mu\neq0$

то вони еквівалентні

H_{0} : μ^{2} = 0

$H_0: \mu^2=0$

H_{1} : μ^{2} > 0.

$H_1: \mu^2\gt 0.$

Якщо дані, як відомо, є нормальними, середнє значення вибірки також буде нормальним із середнім та дисперсією (що може бути відомим чи невідомим). $\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

Якщо дані невідомі як нормальні, то можна використовувати центральну граничну теорему, і вищевказане буде істинно асимптотично. Ви стверджуєте, що перейде до чі-квадратної змінної "швидше", ніж перейде до звичайної. Це вірно в тому сенсі, що як прагне до нескінченності, $\bar{X}^2$ $\bar{X}$ $n$

P (| \bar{X} - μ | > | {\bar{X}}^{2} - μ^{2} |) \to 1

$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$

але це не вся історія. Ми проводимо тест на коефіцієнт ймовірності або принаймні приблизний. співвідношення вийде однаковим, чи будемо ми проводити тест-чи чи звичайний тест. (Нагадаємо, що квадрат звичайної випадкової величини слідує за розподілом c-квадрата.) Якщо середнє значення вибірки виходить у 95-му перцентилі відповідного нормального або t-розподілу, то сума квадратів буде дорівнюватиме 95-му перцентилю розподілу (що не однакове число, але це не має значення). $\bar{X}$ $\chi^2$

— JDL
джерело