Чому закон великої кількості не застосовується у випадку ціни акцій Apple?

Ось стаття в Нью-Йорку, яка називається "Apple протистоїть закону великої кількості" . Він намагається пояснити зростання цін акцій Apple, використовуючи закон великої кількості. Які статистичні (або математичні) помилки робить ця стаття?

— mpiktas
джерело

Я знайшов цю статтю через блог @Epigrad: confounding.net/2012/03/12/… .

— mpiktas

(+1) Дякуємо за привернення уваги до цієї статті тут.

— кардинал

Моя друга найбільш прихильна відповідь - це питання про статтю в NYTimes. Також я хотів знати, як відповідатимуть на це запитання інші люди. Я мав відповідь дещо іншу точку зору, ніж Епіград, і цікавився, чи хтось ще опублікує її.

— mpiktas

Відповіді:

Ось рубіж: Apple настільки велика, що вона суперечить закону великої кількості.

Також відома як золота теорема з підтвердженням, приписаним швейцарському математику 17 століття Якобу Бернуллі, закон стверджує, що змінна повернеться до середнього значення на великій вибірці результатів. Що стосується найбільших компаній, це говорить про те, що зростання високих прибутків і швидке зростання ціни акцій сповільнюватимуться, оскільки ці компанії зростатимуть все більше.

Цей заплутаний перелом насправді стосується трьох різних явищ!

(Різні) Закони великих чисел є основоположними в теорії ймовірностей для характеристики ситуацій, коли розумно очікувати, що великі вибірки даватимуть все кращу інформацію про процес чи вибірку сукупності. Дійсно, Якоб Бернуллі першим визнав необхідність висловити та довести таку теорему, що з’явилася у його посмертному Ars Conjectandi в 1713 р. (Під редакцією племінника Ніколаса Бернуллі).

Немає очевидних дійсних застосувань такого закону для зростання Apple.
Регрес до середнього значення вперше визнав Френсіс Галтон у 1880-х роках. Однак він часто недооцінюється серед бізнес-аналітиків. Наприклад, на початку 1933 р. (В глибині Великої депресії) Горацій Секріст опублікував свій магнум опус - Тріумф посередності в бізнесі. У ньому він пильно досліджував часові ряди бізнесу та знаходив, у кожному випадку, докази регресу до середнього рівня. Але, не визнаючи цього непридатним математичнимявище, він стверджував, що він розкрив основну істину розвитку бізнесу! Ця помилкова помилка помилково математичної структури в результаті якоїсь основної сили або тенденції (тепер її часто називають «помилкою регресії») нагадує цитований уривок.

(Примітно, що Секріст був видатним статистиком, автором одного з найпопулярніших підручників зі статистики, опублікованого в той час. На JSTOR ви можете знайти виразковий огляд " Тріумфу" ... Гарольда Хотеллінга, опублікованого в JASA наприкінці 1933 року. подальший обмін листами з «Секріст», писав Хотелінг

Мій огляд ... був, головним чином, присвячений читачам, що не попереджають висновку, що бізнес-фірми мають тенденцію стати посередними ... "Довести" такий математичний результат дорогим і тривалим числовим дослідженням ... аналогічно доказуванню множення. таблиці, розташовуючи слонів у рядках та стовпцях, а потім робимо те ж саме для численних інших видів тварин. Виступ, хоч, можливо, розважальний і має певне педагогічне значення, але не є важливим внеском ні в зоологію, ні в математику.

[JASA Vol. 29, № 186 (червень 1934 р.), С. 198 та 199].)

У пасажі NY Times, здається, є однакова помилка з бізнес-даними Apple.
Якщо ми прочитаємо далі у статті, ми незабаром розкриємо призначений автором сенс:

Якщо ціна акцій компанії Apple виросла ще на 20 відсотків на рік в протягом наступного десятиліття, що набагато нижче поточної бульбашок темпами, його $ 500 млрд ринкової капіталізації буде більш ніж $ 3 трлн 2022.

Це, звичайно, заява про екстраполяцію експоненціального зростання. Як такий, він містить відгомони прогнозів населення Мальтузії . Однак небезпеки екстраполяції не обмежуються експоненціальним зростанням. Марк Твен (Семюель Клементс), стовпчастий безсонні екстраполятори в " Життя в Міссісіпі" (1883, глава 17)

Тепер, якби я хотів стати одним з таких поважних наукових людей, і "дозволити" довести ... що відбудеться в далекому майбутньому від того, що сталося в кінці років, яка можливість є тут! ... Зверніть увагу: -

Протягом ста сімдесяти шести років Нижня Міссісіпі скоротилася на двісті сорок дві милі. Це в середньому дрібниця за одну милю і третину на рік. Тому будь-яка спокійна людина, яка не є сліпою і безглуздою, може побачити, що в "Старий оолітичний силурійський період", лише мільйон років тому наступного листопада, річка Нижній Міссісіпі була вгору на мільйон триста тисяч миль, і застрягла над Мексиканською затокою, як вудка. І тим самим будь-яка людина може побачити, що від семисот сорока двох років відтепер до Нижньої Міссісіпі пройде лише миля і три чверті, а Каїр та Новий Орлеан приєднаються до їхніх вулиць разом і зручно пливуть вздовж Один міський голова та спільна рада вільховиків. У науці є щось захоплююче.Один отримує таку оптову віддачу від гіпотези від такого дрібного вкладення факту. "

(Наголос додається.) Сатира Твена вигідно порівнює цитату статті бізнес-аналітика Роберта Цигра:

Якщо ви екстраполюєтеся досить далеко в майбутнє, щоб підтримати цей ріст, Apple повинна буде продати iPhone кожному чоловікові, жінці, дитині, тваринам і рокам планети.

(На жаль, схоже, Cihra не прислухається до його власних порад: він оцінює цю акцію «купівлею». Він, можливо, має рацію, не по суті, але в силу більшої дурної теорії .)

Якщо ми вважатимемо статтю означати "остерігайся екстраполяції попереднього зростання на майбутнє", ми з цього вийдемо багато. Інвестори, які вважають, що ця компанія є гарною покупкою, оскільки її коефіцієнт ПЕ низький (що включає в себе кілька помітних менеджерів грошових коштів, цитованих у статті), не кращий, ніж "поважні наукові люди", Твен косив понад століття тому.

Краще знайомство з Бернуллі, Хотелінггом і Твеном покращило б точність та читаність цієї статті, але врешті-решт, схоже, це правильно зрозуміло повідомлення.

— дзижчати
джерело

Це був мій основний винос. Автор статті не помиляється . З іншого боку, його виправдання "тому, що математика" - це далеко не базування.

— Фоміт

яка приємна і зважена відповідь! Я хочу дати ці 100 марок

— Siddharth Gopi

Досить жартівливо я щойно написав допис у блозі на цю тему: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

По суті, Закон великих чисел полягає в тому, що в міру збільшення кількості випробувань випадкового процесу середнє значення цих випробувань наблизиться до фактичної середньої величини (або очікування для більш складних розподілів). Тож якщо ви один раз перевернете монету і отримаєте голову, то ймовірність голови = 1,0, коли ви перекинете все більше і більше монет, ви будете рухатися ближче і ближче до 0,50.

Автор стверджує, що Apple у майбутньому матиме проблеми через щось, що насправді зовсім не пов'язане із Законом про великі числа. А саме, що в міру зростання Apple, тим самим% збільшення ціни акцій, прибутків тощо стає важче досягти в абсолютному доларовому вираженні. В основному, щоб залишитися на курсі, Apple повинна отримувати все більші та більші хіти.

Пов’язання цього з поведінкою випадкового процесу, що переходить до середнього, вимагає серйозної розумової гімнастики. Наскільки я можу сказати, твердження полягає в тому, що "дивовижність вашої продукції" є випадковим процесом, і, хоча Apple має коло "вище середнього", дивним, їм, зрештою, доведеться сходити до середнього значення "середній рівень" ". Але це справді милосердя для автора.

Тільки тому, що 500 мільярдів - це велика кількість, це не означає, що «Закон великих чисел» - це те, що діє на нього.

— Фоміт
джерело

(+1) Спочатку, коли я почав читати статтю, я подумав, що автор, можливо, плутає закон великої кількості з регресом до середнього . Потім я перейшов до абзацу, який починається "Також відомий як золота теорема ...". Це читається так, як хтось, хто скуйовдував Л. Млодинова « Прогулянка п’яних : як випадковість править нашим життям» (інакше цікаве прочитання), а потім подумав, що вони щось знають.

— кардинал

"Дивовижність ваших продуктів" як випадковий процес, я можу відчути, що зараз створюється нова галузь статистики.

— asjohnson

У блозі Ендрю Гельмана також є дискусія. andrewgelman.com/2012/02/…

— zbicyclist

Немає жодних підстав вважати, що ціна акцій, що розвивається в часі для конкретної компанії, представляє незалежні, однаково розподілені випадкові величини.

— Мастеров Дмитро Васильович
джерело

Ну так, але припущення про ід може бути значно послаблене, щоб lln протримався.

— mpiktas

Але ви все одно потребуєте незалежності, що не має сенсу, коли мова йде про DGP про ціну акцій, якщо ви не розглядаєте фінанси як особливий випадок рулетки. Але в цьому випадку, безумовно, регрес до середнього був би кориснішою концепцією, а не LLN. Також мені незрозуміло, до якого випадкового процесу відноситься LLN. Це сама ціна, зміна ціни чи ринкова капіталізація Apple? Нарешті, я не впевнений, чи очікуване значення, до якого вибірка означає, нібито збігається з плином часу, насправді має значення в будь-якому з трьох вищезазначених випадків.

— Мастеров Дмитро Васильович

Димитрію, ваші зауваження добре сприйняті. Зауважте, що стаття (настільки ж безглуздо, як це є) стосується праці Бернуллі, яка є WLLN. Так, наприклад, ми можемо відійти від некоррельованих, а не незалежних випадкових величин, і, навіть, легкої кореляції, якщо вона не зростає надто швидко, як функція від кількості змінних.

— кардинал

@cardinal: Я подивився на визначенні в mathworld.wolfram.com/WeakLawofLargeNumbers.html (він же теорема Бернуллі) перед відправкою , що, який як припущення. Це погоджується із визначенням WLLN від Casella & Berger. Але ви, звичайно, правильні. Ви можете розслабити це до кінцевих моментів для і не надто великої залежності, щоб випадкові компоненти скасувались. Незалежність занадто сильна.

i i d

$iid$

x_{i}

$x_{i}$

— Мастеров Димитрій Вікторович

Так, якщо хтось хоче бути дещо невдячним до Бернуллі, вони можуть відзначити, що WLLN є, по суті, прямим застосуванням нерівності Чебишева до тих пір, поки всі . Потім видно, що поки , все виходить. Це навіть не вимагає, щоб засоби або відхилення були постійними, якщо ми інтерпретуємо відповідну заяву інтересу як ймовірно, . Звичайно, існують більш загальні форми навіть WLLN. (+1, до речі.)

X_{i} \in L_{2}

$X_i \in L_2$

V a r (S_{n}) = o (n^{2})

$\mathrm{Var}(S_n) = o(n^2)$

X_{i}

$X_i$

{\bar{X}}_{n} - {\bar{μ}}_{n} \to 0

$\bar X_n - \bar{\mu}_n \to 0$

— кардинал