Що таке / є неявними пріоритетами у частотистській статистиці?

Я чув почуття, що Джейнес стверджує, що лікарі-оператори працюють з "неявним попереднім".

Що це або є ці неявні пріори? Чи означає це, що періодичні моделі - це все особливі випадки байєсівських моделей, які чекають їх пошуку?

У теорії частотних рішень існують повні результати класу, які характеризують допустимі процедури як процедури Байєса або як обмеження процедур Байєса. Наприклад, необхідна і достатня умова Штейна (Stein. 1955; Farrell, 1968b) стверджує, що за наступними припущеннями

1. щільність вибірки безперервна в і суворо позитивна на ; і$f(x|\theta)$$\theta$$\Theta$
2. функція втрати суворо опукла, безперервна, і якщо компактна,$L$$E\subset\Theta$ $$\lim_{\|\delta\|\rightarrow +\infty} \inf_{\theta\in E}L(\theta,\delta) =+\infty.$$

оцінювач допустимий, якщо і тільки тоді вони існують$\delta$

• послідовність збільшення компактних наборів, така що ,$(F_n)$$\Theta=\bigcup_n F_n$
• послідовність кінцевих заходів з підтримкою і$(\pi_n)$$F_n$

• послідовність оцінювачів Байєса, пов'язана з така, що$(\delta_n)$$\pi_n$

  1. існує компактний набір така, що$E_0\subset \Theta$$\inf_n \pi_n(E_0) \ge 1$
  2. якщо компактна,$E\subset \Theta$$\sup_n \pi_n(E) <+\infty$
  3. $\lim_n r(\pi_n,\delta)-r(\pi_n) = 0$ і
  4. $\lim_n R(\theta,\delta_n)= R(\theta,\delta)$ .

[відтворено з моєї книги, Байєсівський вибір , теорема 8.3.0, с.407]

У цьому обмеженому розумінні частофілістська властивість прийнятності наділяється байєсівським фоном, отже, асоціюється неявна попередня (або її послідовність) з кожним допустимим оцінювачем.

Sidenote: За сумним збігом обставин Чарльз Штейн помер 25 листопада в Пало-Альто, Каліфорнія. Йому було 96 років.

Існує аналогічний (якщо математично залучений) результат для інваріантної або еквівалентної оцінки, а саме, що найкращий еквівалентний оцінювач - це оцінка Байєса для кожної перехідної групи, що діє за статистичною моделлю, пов'язаної з правою мірою Хаара, , індукованою на за цією групою та відповідні інваріантні втрати. Докладні відомості див. У Пітмена (1939), Штейна (1964) або Зідека (1969). Це, швидше за все, мав на увазі Джейнс , коли він насильно сперечався щодо вирішення парадоксів маргіналізації за принципами інваріантності .$\pi^*$$\Theta$

Крім того, як детально описано у відповіді цивільногостату, до байєвських процедур також пов'язане ще одне частофілістське поняття оптимальності, а саме мінімаксичність, оскільки процедура minimax, що мінімізує максимальну помилку (над простором параметрів), часто є процедурою maximin, яка максимально збільшує мінімальну помилку ( за всіма попередніми розподілами), отже, це процедура Байєса або межа Байєса.

Питання: Чи є грізний винос, який я можу використовувати, щоб передати свою байєсівську інтуїцію частолістським моделям?

По-перше, я б уникнув використання терміна "частостська модель", оскільки існують моделі вибірки (дані - реалізація для значення параметра )$x$$X\sim f(x|\theta)$$\theta$ та частофілістські процедури (найкращий об'єктивний оцінювач, мінімум інтервал довірчої дисперсії та т.п.)По-друге, я не бачу переконливої ​​методологічної чи теоретичної причини розглядати частолістські методи як прикордонні чи обмежуючі байєсівські методи. Виправданням процедури частості, коли вона існує, є задоволення деякої властивості оптимальності в просторі вибірки, тобто при повторенні спостережень. Основне обгрунтування процедур Байєса полягає в тому, щоб бути оптимальним [за певним критерієм або функцією втрат] за умови попереднього розподілу та однієї реалізації з вибіркової моделі. Іноді отримана процедура задовольняє деяку частофілістську властивість ( % достовірний регіон - це % довіри)$95$$95$ , але це буває так, що ця оптимальність не переноситься на всі процедури, пов'язані з байєсівською моделлю.

@ Відповідь Сіаня є більш повною. Але оскільки ви також попросили витягнути жалюзі, ось такий. (Концепції, про які я згадую, не точно збігаються з налаштуваннями допустимості вище.)

Часто (але не завжди) люблять використовувати оцінки, що є "мінімакс": якщо я хочу оцінити , мій ризик мого оцінювача повинен бути кращим, ніж будь-який інший ризик будь-якого іншого оцінювача . Виявляється, MLE часто (приблизно) мінімакс. Деталі див. Тут або тут .$\theta$$\hat{\theta}$

Для того, щоб знайти оцінювач minimax для проблеми, один із способів - це на мить подумати Байесіана і знайти "найменш сприятливий попередній" . Це попередник, чий оцінювач Байєса має більш високий середній ризик, ніж будь-який інший попередній оцінювач Байєса. Якщо ви можете його знайти, то виявляється, що оцінювач Bayes є мінімаксом.$\pi$$\pi$

У цьому сенсі ви можете з жалем сказати: A (використовуючи мінімакс) Частознавець - це як баєс, який вибрав (базується на оцінці) найменш сприятливий раніше.

Можливо, ви можете розтягнути це, щоб сказати: Такий Частота є консервативним баєсом, обираючи не суб'єктивних пріорів чи навіть неінформативних пріорів, а (у цьому конкретному розумінні) найгірших пріорів.

Нарешті, як говорили інші, розтягнути таким чином часто і байєсів слід розтягнутись. Бути частою практикою не означає, що ви використовуєте певний оцінювач. Це просто означає, що ви задаєте питання щодо властивостей вибірки вашого оцінювача, тоді як ці питання не є основним пріоритетом Байесія. (Отже, будь-який байєсів, який сподівається на хороші властивості вибірки, наприклад, "калібрований Байєс" , також є частою практикою.)
Навіть якщо ви визначаєте частотиста як того, чиї оцінки завжди мають оптимальні властивості вибірки, таких властивостей багато, і ви не завжди можете зустріти їх усіх одразу. Тож важко говорити загалом про "всі моделі частот".