Чи може хтось запропонувати приклад унімодального розподілу, який має косий нуль, але який не є симетричним?

У травні 2010 року користувач Вікіпедії Mcorazao додав речення до статті про косості, що "нульове значення вказує на те, що значення відносно рівномірно розподілені по обидві сторони середнього, як правило, але не обов'язково мають на увазі симетричний розподіл". Однак на сторінці wiki немає фактичних прикладів розповсюджень, які порушують це правило. "Приклад асиметричних розподілів з нульовим нахилом" Гуглінга також не дає реальних прикладів, принаймні у перші 20 результатів.

Використовуючи визначення, що перекос обчислюється , іформула R$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$

sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)

Я можу побудувати невеликий, довільний розподіл, щоб зробити косий низький. Наприклад, розподіл

x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) 

дає косо . Але це невеликий зразок, і більше того, відхилення від симетрії не велике. Отже, чи можна побудувати більший розподіл з одним піком, який є дуже асиметричним, але все ще має косисть майже нуля?$-5.64947\cdot10^{-5}$

Розглянемо дискретні розподіли. Те, що підтримується на значеннях x 1 , x 2 , … , x k , визначається негативними ймовірностями p 1 , p 2 , … , p k за умови, що (a) вони дорівнюють 1 та (b) коефіцієнт перекосу дорівнює 0 (що дорівнює третьому центральному моменту, що дорівнює нулю). Це залишає k - 2 ступеня свободи (у розумінні рівняння, а не в статистичному!). Ми можемо сподіватися знайти рішення, які не є одномодовими.$k$$x_1, x_2,\ldots, x_k$$p_1, p_2,\ldots, p_k$$k-2$

Щоб полегшити пошук прикладів, я шукав рішення, підтримувані на малому симетричному векторі з унікальним режимом при 0 , нульовій середній і нульовій косості . Одним із таких рішень є ( p 1 , … , p 7 ) = ( 1396 , 3286 , 9586 , 47386 , 8781 , 3930 $\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$$0$ .$(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$

Ви можете бачити, що це асиметрично.

Ось більш очевидно асиметричний розв’язок з (що несиметрично) і p = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) / 108 :$\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$

Тепер очевидно, що відбувається: оскільки середнє значення дорівнює , від'ємні значення вносять ( - 3 ) 3 = - 27 і 18 × ( - 1 ) 3 = - 18 в третій момент, тоді як додатні значення вносять 4 × 2 3 = 32 і 13 × 1 3 = 13 , точно врівноважуючи від’ємні внески. Ми можемо взяти симетричний розподіл приблизно 0 , наприклад x$0$$(-3)^3=-27$$18 \times (-1)^3=-18$$4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$$0$ з p = ( 1 , 4 , 1 ) / 6 , і переміщуємо невелику масу з + 1 до + 2 , трохи маси з + 1 вниз до - 1 , і невелику кількість маси вниз до - 3 , підтримуючи середнє значення 0 і косий на$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$$+1$$+2$$+1$$-1$$-3$$0$$0$також створюючи асиметрію. Цей же підхід буде працювати для підтримання нульової середньої та нульової косості безперервного розподілу, роблячи її асиметричною; якщо ми не будемо занадто агресивними з масовим зміщенням, воно залишиться одномодальним.

Правка: безперервні дистрибуції

Оскільки проблема постійно виникає, давайте наводимо чіткий приклад із постійними розповсюдженнями. У Пітера Флома була гарна ідея: подивіться суміші нормалів. Суміш двох нормалей не обійдеться: коли її косисть зникне, вона буде симетричною. Наступний найпростіший випадок - це суміш трьох нормалей.

Після відповідного вибору місця розташування та масштабу суміші трьох нормалей залежать від шести реальних параметрів, і тому вони повинні мати більш ніж достатню гнучкість для отримання асиметричного рішення з нульовим нахилом. Щоб знайти їх, нам потрібно знати, як обчислити похибки сумішей нормалів. Серед них ми будемо шукати будь-які, що не є одномодовими (можливо, їх немає).

$r^\text{th}$$r$$2^{r/2}\Gamma\left(\frac{1-r}{2}\right)/\sqrt{\pi}$$\sigma$$r^\text{th}$$\sigma^r$$\mu$$r^\text{th}$$r$

$(\mu, \sigma)$$(0,1)$$(1/2,1)$$(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$$(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$$0.0519216$$1/6$

Сюжети вказують, що вони є одномодовими. (Ви можете перевірити, використовуючи Calculus, щоб знайти локальні максимуми.)

$k=0.0629$$c=18.1484$

Він має середнє значення 0,5387, середнє відхилення 0,2907, косостість 0,0000 та куртоз 2,0000. Джерело також називає його "слоновим розповсюдженням":

Моє відтворення в R було створено с

library(actuar)
library(knotR)

# a nonsymmetric distribution with zero skewness
# see https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#

c <- 18.1484
k <- 0.0629

x <- seq(0,1.5,by=.0001)

elephant.density <- dinvburr(x, k, c)
plot(x,elephant.density, type="l")
polygon(c(min(x),x),c(min(elephant.density),elephant.density), col="grey")
points(0.8,0.8, pch=19, cex=2)

# "ears" created via https://www.desmos.com/calculator/cahqdxeshd
ear.x <- c(0.686, 0.501, 0.42, 0.68)
ear.y <- c(0.698, 0.315, 1.095, 0.983)

myseg(bezier(cbind(ear.x, ear.y)), type="l")

EX <- gamma(k+1/c)*gamma(1-1/c)/gamma(k) # see p6 of https://wwz.unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf
EX2 <- gamma(k+2/c)*gamma(1-2/c)/gamma(k)
EX3 <- gamma(k+3/c)*gamma(1-3/c)/gamma(k)
(skewness <- (EX3 - 3*EX*(EX2-EX^2)-EX^3)/(EX2-EX^2)^(3/2)) # zero to three digits: 0.0003756196

$k$$c$

   # optimize skewness a bit further
    skewval <- 1

while (skewval > 10^(-10)){
  optskew.k <- uniroot(skewness.fun, lower = k*.95, upper = k*1.1, tol=skewval^2, c=c)
  skewval <- optskew.k$f.root
  k <- optskew.k$root

  optskew.c <- uniroot(skewness.fun, lower = c*.95, upper = c*1.1, tol=skewval^2, k=k)
  skewval <- optskew.c$f.root
  c <- optskew.c$root
}

врожайний

> print(c)
[1] 18.89306

> print(k)
[1] 0.05975542

> print(skewval)
[1] -1.131464e-15

Розглянемо розподіл на позитивну половину реальної лінії, яка лінійно збільшується від 0 до режиму, а потім є експоненціальною праворуч від режиму, але є безперервною у режимі.

Це можна назвати трикутно-експоненціальним розподілом (хоча це часто схоже на плавник акули).

$\theta$$\lambda$

$\lambda\theta$$\lambda\theta$$\approx 6.15$

$^{[1]}$$^{[2]}$

Нитка Ненормальні розподіли з нульовим нахилом і нульовим надлишком куртозу? має кілька асиметричних прикладів, включаючи невеликий дискретний приклад та інший безперервний одномодальний:

Дискретні унімодальні розподіли - або, що рівнозначно, зразки - з нульовою косою конструкцією досить легко побудувати, великого або малого розміру.

Ось приклад, який можна розглядати як зразок або (діливши необроблені частоти на 3000) як pmf (значення 'x' - це прийняті значення, 'n' - це кількість разів, коли значення виникає у вибірці ):

x:  -2   -1    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
n: 496  498  562 1434    2    1    1    1    1    1    1    1    1

Цей приклад створений з триточкового розподілу:

x:          -2              1                  c
n:   c(c-1)(c+1)/6     c(c-1)(c+1)/3 - c       1

$c$$c$$\sum_i n_ix_i =0$$\sum_i n_ix_i^3 =0$$c$

Існують усі способи побудови інших таких "атомів", але в цьому прикладі використовується лише цей один вид. До деякої комбінації атомів, таких як ці, додається кілька симетрично розміщених значень, щоб заповнити залишки отворів і гарантувати нерівномірність без руйнування структури середнього та третього моменту.

$[1]$

$[2]$

Звичайно. Спробуйте це:

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

(Ви вже зробили важкі речі!)

$Y$$Z$$\mu$

$Y$$Z$$\mu$$\mu$

Такий дискретний розподіл є несиметричним і має нульовий нахил: Prob (-4) = 1/3, Prob (1) = 1/2, Prob (5) = 1/6. Я знайшов це в роботі Doric et al., Qual Quant (2009) 43: 481-493; DOI 10.1007 / s11135-007-9128-9