Чи можуть дві випадкові величини мати однаковий розподіл, але майже напевно можуть бути різними?

21

Чи можливо, що дві випадкові величини мають однаковий розподіл, і все ж вони майже напевно різні?

distributions probability

— HornetsFan
джерело

38

Нехай і визначимо . Неважко довести, що . $X\sim N(0,1)$ $Y=-X$ $Y\sim N(0,1)$

Але

П {ω : Х (ω) = Y (ω)} = П {ω : Х (ω) = 0, Y (ω) = 0} \leq П {ω : Х (ω) = 0} = 0 .

$P\{\omega : X(\omega)=Y(\omega)\} = P\{\omega : X(\omega)=0,Y(\omega)=0\} \leq P\{\omega : X(\omega)=0\} = 0 \, .$

Отже, і різні з вірогідністю. $X$ $Y$

— Дзен
джерело

18

Цей же трюк працює набагато загальніше і навіть у випадках, які можуть "здатися" простішими, коли хтось вперше зіткнеться з предметом. Наприклад, розглянемо та де - випадкова величина Бернуллі, ймовірність успіху якої становить .

X

$X$

1 - X

$1-X$

X

$X$

1 / 2

$1/2$

— кардинал

24

Будь-яка пара незалежних випадкових величин і мають однаковий безперервний розподіл, забезпечує контрприклад. $X$ $Y$

Насправді дві випадкові величини, що мають однаковий розподіл, навіть не обов'язково визначаються на одному просторі ймовірностей, отже, питання взагалі не має сенсу.

— Стефан Лоран
джерело

3

(+1) Ваш другий пункт, зокрема, є важливим і, як тільки зрозумієте, допомагає з'ясувати відмінності в двох концепціях.

— кардинал

-1

$X(x)=x$ $Y(x)=1-x$ $x \in [0,1]$ $F(x)=x$ $f(x)=1$ $X+Y$ $x=1$

— RRBaldino
джерело

Ласкаво просимо на наш сайт. Чи можете ви уточнити, у чому ваша публікація відповідає на питання в цій темі та покажіть, чим вона відрізняється від відповіді, яку дав Дзен (та коментар @Cardinal до цієї відповіді )?

— whuber