Чи завжди дві стандартні нормальні випадкові величини завжди незалежні?

16

Я дізнався, що стандартний нормальний розподіл унікальний, оскільки середнє значення та дисперсія фіксовані на 0 та 1 відповідно. За цим фактом мені цікаво, чи будь-які дві стандартні випадкові величини повинні бути незалежними.

normal-distribution independence

— C.Hawk
джерело

12

Чому вони повинні бути ..? Незалежність не має нічого спільного з розповсюдженням.

— Тім

27

Розглянемо

і

. Вони не є незалежними.

X

$X$

X

$X$

— djechlin

Це може бути корисним з практичної точки зору. stats.stackexchange.com/questions/15011/…

— JustGettinStarted

На додаток до приємних прикладів розглянемо, як правило, двовимірний нормальний розподіл з N (0,!) Граничними розподілами. Можна мати будь-яку кореляцію між -1 та 1. Наведені нижче приклади - це спеціальні випадки. Крім того, можливі залежність двох стандартних звичайних змінних, але не мають двовимірного розподілу.

— Майкл Р. Черник

1

Я помічаю, що Бетмен дає загальний результат, який може бути таким самим, як я пропоную. Випадок Y = -X має кореляцію -1 і тому є виродженою формою двовимірного нормалу. Я не бачив тут прикладу (у цій публікації), який ілюструє випадок, який не є двозначним нормальним.

— Майкл Р. Черник

42

Відповідь - ні. Наприклад, якщо є стандартною випадковою змінною, то слід за тією ж статистикою, але і явно залежать. $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— зап
джерело

26

Ні, немає жодних підстав вважати, що будь-які два стандартних гаусаки незалежні.

Ось проста математична побудова. Припустимо, що і є двома незалежними стандартними нормальними змінними. Потім пара $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

є двома залежними стандартними нормальними змінними. Отже, поки вони є двома незалежними нормальними змінними, повинні існувати дві залежні .

Друга змінна нормальна, оскільки будь-яка лінійна комбінація незалежних нормальних змінних знову нормальна. є, щоб відхилення було рівним. $\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

Інтуїтивно вони залежать, оскільки знання значення дає додаткову інформацію, яку ви можете використовувати для прогнозування значення другої змінної. Наприклад, якщо ви знаєте, що , то умовне очікування другої змінної дорівнює $X$ $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— Метью Друрі
джерело

7

Ось досить широка відповідь:

$X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

$\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ $p=0$ .

— Batman
джерело

5

A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$ .

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ .

— Batman
джерело