Контрприклади, коли медіана знаходиться поза [Середній режим]

Ця стаття вище моєї ліги, але вона говорить про тему, яка мене цікавить, взаємозв'язок між середнім, режимом та медіаною. Він говорить :

Поширена думка, що медіана унімодального розподілу "зазвичай" між середнім і модним. Однак це не завжди так ...

Моє запитання : чи може хтось навести приклади безперервних одномодальних (ідеально простих) розподілів, коли медіана знаходиться поза інтервалом [режим, середній]? Наприклад, такий розподіл, як mode < mean < median.

=== EDIT =======

Глен_б і Френсіс вже мають хороші відповіді, але я зрозумів, що те, що мене справді цікавить, - це приклад, коли режим <середній <середній або середній <середній <режим (тобто обидва медіана знаходиться поза [режим, означає] І медіана є "з тієї ж сторони", що і середнє значення режиму (тобто режим вгорі або внизу)). Я можу прийняти відповіді, це відкрите нове запитання чи, можливо, хтось може прямо запропонувати рішення тут?

Звичайно, не важко знайти приклади - навіть безперервні одномодальні - там, де медіана не знаходиться між середнім та режимом.

1. Розглянемо від трикутного розподілу формиf T ( t ) = 2 ( 1 - t ) 1 0 < t < $T_1,T_2$$f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

   Тепер нехай - це 60-40 суміш і .T 1 - 4 T $X$$T_1$$-4T_2$

   Щільність виглядає приблизно так:$X$

   

   Середнє значення нижче 0, режим - 0, але медіана вище 0. Незначна модифікація цього дає приклад, коли навіть щільність (а не просто cdf) була безперервною, але взаємозв'язок між мірками розташування був те саме (редагувати: див. 3. нижче).

2. Узагальнюючи, покладемо пропорцію (з ) від загальної ймовірності в правий трикутник і пропорцію у лівий бічний трикутник (замість 0,6 і 0,4 у нас були раніше). Далі зробіть коефіцієнт масштабування на лівій половині а не (з ):0 < p < 1 ( 1 - p ) - β - 4 β > $p$$0<p<1$$(1-p)$$-\beta$$-4$$\beta>0$

   

   Якщо припустити , медіана завжди буде знаходитись в інтервалі, охопленому правим трикутником, тому медіана перевищить режим (який завжди залишатиметься на рівні ). Зокрема, коли , медіана буде дорівнює . 0p>$p>\frac12$$0$ 1-1/$p>\frac12$$1-1/\sqrt{2p}$

   Середнє значення буде при .$(p - \beta(1-p))/3$

   Якщо то середнє значення буде нижче режиму, а якщо середнє буде вище режиму.$\beta>p/(1-p)$$\beta< p/(1-p)$

   З іншого боку, ми хочемо зберегти середнє значення нижче медіани.$(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

   Розглянемо ; це ставить медіану вище режиму.$p=0.7$

   Тоді задовольняє тому середнє значення вище режиму.$\beta=2$$\beta<p/(1-p)$

   Медіана насправді становить тоді як середнє значення дорівнює . Отже для і маємо режим <середній <середній.$1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$$\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$$p=0.7$$\beta=2$

   (Примітка. Для узгодження моєї позначення змінна на осі x для обох ділянок повинна бути а не але я не збираюся повертатися назад і виправляти її.)$x$$t$

3. Це приклад, коли сама щільність є безперервною. Він заснований на підході в 1. і 2. вище, але з "стрибком" замінено на крутий схил (і тоді вся щільність перекинулася приблизно на 0, тому що я хочу приклад, який виглядає прямо нахилом).

   

   [Використовуючи підхід "суміш трикутних густин", його можна генерувати у вигляді суміші 3 незалежних масштабованих змінних трикутної форми, описаних у розділі 1. Зараз у нас 15% , 60% та 25% .]$T_1$$-3T_2$$5T_3$

   Як ми бачимо на діаграмі вище, середня сторона знаходиться в середині, як вимагається.

4. Зауважте, що m_t_ в коментарях згадує Weibull (для якої медіана знаходиться поза інтервалу для невеликого діапазону параметра ). Це потенційно задовольняє, оскільки це відомий одномодальний безперервний (і плавний) розподіл з простою функціональною формою.$[\text{mode},\text{mean}]$$k$

   Зокрема, для малих значень параметру форми Вейбулла розподіл є прямим перекосом, і у нас є звичайна ситуація медіани між режимом та середнім значенням, тоді як для великих значень параметра форми Вейбулла розподіл є лівим нахилом , і ми знову маємо ту «медіану посередині» (але тепер із режимом праворуч, а не середнім). Між цими випадками є невелика область, де медіана знаходиться поза інтервалом середнього режиму, і в середині цього середнє і модове перетинаються:

         k                 order
    (0,3.2589)      mode < median < mean
     ≈ 3.2589       mode = median < mean
   (3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
     ≈ 3.3215       median < mode = mean
   (3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
     ≈ 3.4395       median = mean < mode
     3.4395+        mean < median < mode
     (≈3.60235      moment-skewness = 0)
   

   Вибираючи зручні значення для параметра фігури в інтервалах, позначених (1) та (2) вище - тих, де зазори між статистикою розташування приблизно рівні - отримуємо:

   

   Хоча вони відповідають цим вимогам, на жаль, три параметри розташування настільки близькі між собою, що ми не можемо візуально їх розрізнити (всі вони потрапляють у один і той же піксель), що трохи невтішно - випадків для моїх попередніх прикладів набагато більше відокремлений. (Тим не менш, він пропонує ситуації, які слід вивчити з іншими розподілами, деякі з яких можуть дати результати, які більш візуально відрізняються.)

Наступний приклад взято з контрприкладів ймовірності Джордана Стоянова .

Враховуючи позитивну константу і , розглянемо випадкову змінну з щільністю Середнє значення , медіана та режим of можна знайти як Примітка є щільністю, лише якщо Отже, якщо дозволити то . В результаті, якщо ми виберемо , близький до$c$$\lambda$$X$

Візьмемо експоненціальний розподіл з параметром швидкості a та щільністю exp (-ax) при 0 <= x <нескінченності. Режим знаходиться на нулі. Звичайно, середня та медіанна більше 0. Cdf дорівнює 1-exp (-ax). Тож для медіани розв’язання для exp (-ax) = 0,5 для x. Тоді -ax = ln (0,5) або x = -ln (0,5) / a. Для середнього інтегруємо ax exp (-ax) від 0 до нескінченності. Візьмемо a = 1 і маємо медіану = -ln (0,5) = ln (2) і середнє = 1.

Отже режим <середній <середній.