Максимальний зазор між зразками, взятими без заміни, з дискретного рівномірного розподілу

Ця проблема пов'язана з дослідженнями моєї лабораторії з роботизованого покриття:

Довільно намалюйте чисел із безлічі без заміни та сортуйте числа у порядку зростання. .$n$$\{1,2,\ldots,m\}$$1\le n\le m$

З цього відсортованого списку чисел генерують різницю між послідовними числами та межами: . Це дає прогалини.$\{a_{(1)},a_{(2)},…,a_{(n)}\}$$g = \{a_{(1)},a_{(2)}−a_{(1)},\ldots,a_{(n)}−a_{(n-1)},m+1-a_{(n)}\}$$n+1$

Який розподіл максимального проміжку?

$P(\max(g) = k) = P(k;m,n) = ?$

Це можна поставити за допомогою статистики замовлень : $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = ?$

Див посилання на розподіл прогалин , але це питання задає розподіл максимального розриву.

Я буду задоволений середнім значенням, $\mathbb{E}[g_{(n+1)}]$ .

Якщо $n=m$ всі прогалини мають розмір 1. Якщо $n+1 = m$ є один проміжок розміром $2$ , а $n+1$ можливі місця. Максимальний розмір зазору - $m-n+1$ , і цей проміжок може бути розміщений до або після будь-якого з $n$ чисел, для загальної кількості $n+1$ можливих позицій. Найменший максимальний розмір зазору - $\lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil$ . Визначте ймовірність будь-якої заданої комбінації $T= {m \choose n}^{-1}$ .

Я частково вирішив функцію маси ймовірностей як $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = \begin{cases} 0 & k < \lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil\\ 1 & k = \frac{m-n}{n+1} \\ 1 & k = 1 \text{ (occurs when $m=n$)} \\ T(n+1)& k = 2 \text{ (occurs when $m=n+1$)} \\ T(n+1)& k = \frac{m-(n-1)}{n} \\ ? & \frac{m-(n-1)}{n} \le k \le m-n+1 \\ T(n+1)& k = m-n+1\\ 0 & k > m-n+1 \end{cases} \tag{1}$

Поточна робота (1): Рівняння для першого проміжку є прямим: Очікуване значення має просте значення: . За симетрією я очікую, що всі прогалини матимуть це розподіл. Можливо, рішення можна було знайти, витягуючи з цього розподілу разів.$a_{(1)}$E[P(a(1))]=

$$P(a_{(1)} = k) = P(k;m,n) = \frac{1}{{m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1}$$ n$\mathbb{E}[P(a_{(1)})] = \frac{1}{ {m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1} k = \frac{m-n}{1+n}$$n$$n$

Поточна робота (2): легко запускати моделювання Монте-Карло.

simMaxGap[m_, n_] := Max[Differences[Sort[Join[RandomSample[Range[m], n], {0, m+1}]]]];
m = 1000; n = 1; trials = 100000;
SmoothHistogram[Table[simMaxGap[m, n], {trials}], Filling -> Axis,
Frame -> {True, True, False, False},
FrameLabel -> {"k (Max gap)", "Probability"},
PlotLabel -> StringForm["m=``,n=``,smooth histogram of maximum map for `` trials", m, n, trials]][![enter image description here][1]][1]

Нехай є шансом, що мінімум, , дорівнює ; тобто вибірка складається з і -підмножини . Є такі підмножини з однаково вірогідних підмножин, звідки$f(g;n,m)$$a_{(1)}$$g$$g$$n-1$$\{g+1,g+2,\ldots,m\}$$\binom{m-g}{n-1}$$\binom{m}{n}$

$$\Pr(a_{(1)}=g = f(g;n,m) = \frac{\binom{m-g}{n-1}}{\binom{m}{n}}.$$

Додавання для всіх можливих значень більших ніж дає функцію виживання$f(k;n,m)$$k$$g$

$$\Pr(a_{(1)} \gt g) = Q(g;n,m)= \frac{(m-g)\binom{m-g-1}{n-1}}{n \binom{m}{n}}.$$

Нехай - випадкова величина, задана найбільшим проміжком:$G_{n,m}$

$$G_{n,m} = \max\left(a_{(1)}, a_{(2)}-a_{(1)}, \ldots, a_{(n)}-a_{(n-1)}\right).$$

(Це відповідає на запитання як оригінально оформлене, перш ніж його змінити, щоб включити проміжок між і .)$a_{(n)}$$m$ Ми обчислимо його функцію виживання з якого легко виводиться весь розподіл . Метод - це динамічна програма, що починається з , для якої очевидно, що

$$P(g;n,m)=\Pr(G_{n,m}\gt g),$$ $G_{n,m}$$n=1$

$$P(g;1,m) = \Pr(G_{1,m} \gt 1) = \frac{m-g}{m},\ g=0, 1, \ldots, m.\tag{1}$$

Для більшого зауважте, що подія - це неперервне об'єднання події$n\gt 1$$G_{n,m}\gt g$

$$a_{1} \gt g,$$

для яких найперший проміжок перевищує , а окремі події$g$$g$

$$a_{1}=k\text{ and } G_{n-1,m-k} \gt g, \ k=1, 2, \ldots, g$$

для якого перший проміжок дорівнює а зазор, більший за виникає пізніше у вибірці. Закон сумарної ймовірності стверджує, що ймовірності цих подій додаються, звідси$k$$g$

$$P(g;n,m) = Q(g;n,m) + \sum_{k=1}^g f(k;n,m) P(g;n-1,m-k).\tag{2}$$

Закріпивши і виклавши двосторонній масив, індексований і , ми можемо обчислити , використовуючи заповнити перший рядок і заповнити кожен наступний рядок, використовуючи операції на рядок. Отже, таблицю можна заповнити операціями і всі таблиці для через можуть бути побудовані в операціях .$g$$i=1,2,\ldots,n$$j=1,2,\ldots,m$$P(g;n,m)$$(1)$$(2)$$O(gm)$$O(gmn)$$g=1$$g=m-n+1$$O(m^3n)$

Ці графіки показують функцію виживання при . Зі збільшенням граф рухається вліво, що відповідає зменшенню шансів великих прогалин.$g\to P(g;n,64)$$n=1,2,4,8,16,32,64$$n$

Закриті формули для можна отримати у багатьох спеціальних випадках, особливо для великих , але мені не вдалося отримати закриту формулу, що стосується всіх . Гарні наближення легко доступні, замінивши цю проблему аналогічною задачею на безперервні однорідні змінні.$P(g;n,m)$$n$$g,n,m$

Нарешті, очікування отримується шляхом підсумовування його функції виживання, починаючи з :$G_{n,m}$$g=0$

$$\mathbb{E}(G_{n,m}) = \sum_{g=0}^{m-n+1} P(g;n,m).$$

Цей контурний графік очікування показує контури в , закінчуючи темне до світлого.$2, 4, 6, \ldots, 32$