Як можна виміряти нерівномірність розподілу?

Я намагаюся придумати метрику для вимірювання нерівномірності розподілу для експерименту, який я виконую. У мене є випадкова змінна, яка повинна бути рівномірно розподілена в більшості випадків, і я хотів би мати можливість визначити (і, можливо, виміряти ступінь) прикладів наборів даних, де змінна не рівномірно розподілена в межах деякої межі.

Приклад трьох серій даних, кожен з 10 вимірювань, що представляють частоту виникнення чогось, що я вимірюю, може бути приблизно таким:

a: [10% 11% 10%  9%  9% 11% 10% 10% 12%  8%]
b: [10% 10% 10%  8% 10% 10%  9%  9% 12%  8%]
c: [ 3%  2% 60%  2%  3%  7%  6%  5%  5%  7%]   <-- non-uniform
d: [98% 97% 99% 98% 98% 96% 99% 96% 99% 98%]

Я хотів би мати можливість відрізняти розподіли на зразок c від таких, як a і b, і вимірювати відхилення c від рівномірного розподілу. Окрім того, якщо є показник того, наскільки рівномірний розподіл (стд. Відхилення, близьке до нуля?), Я, можливо, можу використовувати його для розрізнення з великою дисперсією. Однак у моїх даних може бути лише одна або дві люди, що переживають, як на прикладі c вище, і я не впевнений, що це буде легко виявити таким чином.

Я можу щось зламати, щоб це зробити в програмному забезпеченні, але шукаю статистичні методи / підходи, щоб виправдати це формально. Я брав заняття років тому, але статистика - це не моя область. Це здається чимось, що повинно мати відомий підхід. Вибачте, якщо що-небудь із цього повністю кісткове. Спасибі заздалегідь!

$\chi^2$

Є й інші можливі підходи, такі як обчислення ентропії кожної серії - рівномірний розподіл максимізує ентропію, тому, якщо ентропія є підозріло низькою, ви б зробили висновок, що ви, мабуть, не маєте рівномірного розподілу. Це працює як міра рівномірності в якомусь сенсі.

Ще однією пропозицією було б використовувати такий захід, як розбіжність Куллбека-Лейблера , який вимірює схожість двох розподілів.

Окрім хороших ідей @MansT, ви можете запропонувати інші заходи, але це залежить від того, що ви маєте на увазі під "нерівномірністю". Щоб зробити це просто, давайте розглянемо 4 рівні. Ідеальну рівномірність легко визначити:

25 25 25 25

але що з наступного є більш неоднорідним?

20 20 30 30 або 20 20 25 35

або вони однаково неоднакові?

якщо ви вважаєте, що вони однаково неоднакові, ви могли б використовувати міру, засновану на сумі абсолютних значень відхилень від норми, масштабованих на максимально можливе. Тоді перший - 5 + 5 + 5 + 5 = 20, а другий - 5 + 5 + 0 + 10 = 20. Але якщо ви вважаєте, що другий є більш неоднорідним, ви можете використовувати щось на основі квадратних відхилень, у цьому випадку перший отримує 25 + 25 + 25 + 25 = 100 і другий отримує 25 + 25 + 0 + 100 = 150.

$1$$\frac{1}{\sqrt d}$$1$$d$

$\frac{1}{\sqrt d}$$1$

$0$$1$$\frac{n*\sqrt d - 1}{\sqrt d - 1}$$n$

$1$

0.10    0.11    0.10    0.09    0.09    0.11    0.10    0.10    0.12    0.08
0.10    0.10    0.10    0.08    0.12    0.12    0.09    0.09    0.12    0.08
0.03    0.02    0.61    0.02    0.03    0.07    0.06    0.05    0.06    0.05

$0.0028$$0.0051$$0.4529$

d=size(m,2); 
for i=1:size(m); 
    disp( (norm(m(i,:))*sqrt(d)-1) / (sqrt(d)-1) ); 
end

Натрапили на це нещодавно, і щоб додати відповідь від @ user495285, наскільки я це розумію:

$\mathbb{R}^n$$L_p$$p$$\mathbb{R}^n$$p$

$L_2$$p$

Я вважаю, що корисність геометричних мір застосовується тоді, коли кожне положення (розмірність) описаного простору передбачається вимірювати на еквівалентних шкалах, наприклад, всі підрахунки потенційно рівного розподілу. Тут, мабуть, такі ж припущення, що лежать в основі зміни баз, як PCA / SVD, схожі. Але знову ж таки я не математик, тому залишу це відкритим для більш обізнаних.