Подвоєння хвостів у двопробному тесті на перестановку

Припустимо, у нас є два зразки, і ми хочемо визначити, чи вони виведені з одного і того ж розподілу, а вибірки A, B складаються з деяких цілих чисел.

Якщо ми перевіримо це за допомогою двопробного тесту перестановки, зокрема, переглянувши перестановки, де відмінності в засобах зразків такі ж екстремальні, як і різниця, що спостерігається: чи є підстави думати, що ми можемо обчислити двоступеневий p- значення, дивлячись на один хвіст і подвоюючи ймовірність?

Це, як видається, говориться в моїх лекційних записках, але я не розумію, чому ми могли б вважати, що хвости симетричні (або чому це не передбачає цього припущення). Пояснення не були наступними.

Розподіл перестановки вашої тестової статистики не гарантується симетричним, тому ви не можете це зробити так. Натомість ви додаєте обидва хвоста. У вашому випадку двох незалежних зразків нульовою гіпотезою є те, що два параметри розташування рівні. Припускаючи безперервні розподіли та однакове поширення в обох групах, ми маємо обмінність під нульовою гіпотезою. Статистика тесту - різниця в засобах, при цьому під нулем.E ( T ) = $T$$E(T) = 0$

Значення для у вихідному зразку становить , а його значення для перестановок . короткий для "число" чогось, наприклад, - кількість статистики тестування перестановки. Тоді -значення для двосторонньої гіпотези - , деT emp T ⋆ ♯ ( ⋅ ) ♯ ( T ⋆ ) p p ts = p вліво + p $T$$T_{\text{emp}}$$T^{\star}$$\sharp(\cdot)$$\sharp(T^{\star})$$p$$p_{\text{ts}} = p_{\text{left}} + p_{\text{right}}$

$p_{\text{left}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, <= \, \text{min}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}}))}{\sharp(T^{\star})}$

$p_{\text{right}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, >= \, \text{max}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}}))}{\sharp(T^{\star})}$

(якщо ми маємо повний розподіл перестановки). Порівняємо обидва підходи для випадку двох незалежних вибірок, коли ми можемо обчислити точний (повний) розподіл перестановки.

set.seed(1234)
Nj   <- c(9, 8)                      # group sizes
DVa  <- rnorm(Nj[1], 5, 20)^2        # data group 1
DVb  <- rnorm(Nj[2], 10, 20)^2       # data group 2
DVab <- c(DVa, DVb)                  # data from both groups
IV   <- factor(rep(c("A", "B"), Nj)) # grouping factor
idx  <- seq(along=DVab)              # all indices
idxA <- combn(idx, Nj[1])            # all possible first groups

# function to calculate test statistic for a given permutation x
getDM <- function(x) { mean(DVab[x]) - mean(DVab[!(idx %in% x)]) }
resDM <- apply(idxA, 2, getDM)       # test statistic for all permutations
diffM <- mean(DVa) - mean(DVb)       # empirical stest statistic

Тепер обчисліть -значення та обґрунтуйте запропоноване рішення з реалізацією в пакеті R. Зауважте, що , тож має значення, яким способом обчислити .$p$coin$p_{\text{left}} \neq p_{\text{right}}$$p_{ts}$

> (pL <- sum(resDM <= min(diffM, -diffM)) / length(resDM))  # left p-value
[1] 0.1755245

> (pR <- sum(resDM >= max(diffM, -diffM)) / length(resDM))  # right p-value
[1] 0.1585356

> 2*pL        # doubling left p-value
[1] 0.351049

> 2*pR        # doubling right p-value
[1] 0.3170712

> pL+pR       # two-sided p-value
[1] 0.3340601

> sum(abs(resDM) >= abs(diffM)) / length(resDM)  # two-sided p-value (more concise)
[1] 0.3340601

# validate with coin implementation
> library(coin)              # for oneway_test()    
> oneway_test(DVab ~ IV, alternative="two.sided", distribution="exact")
Exact 2-Sample Permutation Test
data:  DVab by IV (A, B) 
Z = 1.0551, p-value = 0.3341
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 

PS Для випадку Монте-Карло, де ми вибираємо лише з перестановки перестановки, -значення будуть визначені так:$p$

$p_{\text{left}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, <= \, \text{min}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}})) + 1}{\sharp(T^{\star}) \, + \, 1}$

$p_{\text{right}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, >= \, \text{max}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}})) +1 }{\sharp(T^{\star}) \, + \, 1}$

$p_{\text{ts}} = \frac{\sharp(\text{abs}(T^{\star}) \, >= \, \text{abs}(T_{\text{emp}})) \, + \, 1 }{\sharp(T^{\star}) + 1}$

Причиною інтуїтивного додавання ще одного екстремального випадку перестановки є те, що нам також потрібно порахувати емпіричний зразок. В іншому випадку перестановка -значення може бути 0, що не може відбуватися у безперервному випадку (див. Тут , зауважте: деякі тексти рекомендують це виправлення, інші - не).$p$