$\underset{\textbf{w}}{\arg\min} L(w)=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}-\textbf{w}^T\textbf{x}|$

$\min \sum_{i=1}^{n}u_{i}$

$u_i \geq \textbf{x}^T\textbf{w}- y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

$u_i \geq -\left(\textbf{x}^T\textbf{w}-y_{i}\right) \; i = 1,\ldots,n$

Але я не маю ідеї вирішувати це поетапно, оскільки я новачок у LP. У вас є ідея? Спасибі заздалегідь!

Редагувати:

Ось останній етап, який я досяг у цій проблемі. Я намагаюся вирішити проблему, слідуючи цій примітці :

Крок 1: Формулювання його до стандартної форми

$\min Z=\sum_{i=1}^{n}u_{i}$

$\textbf{x}^T\textbf{w} -u_i+s_1=y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

$\textbf{x}^T\textbf{w} +u_i+s_2=-y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

за умови$s_1 \ge 0; s_2\ge 0; u_i \ge 0 \ i=1,...,n$

Крок 2: Побудуйте початкову таблицю

           |      |    0      |    1   |  0  |   0   |   0    
 basic var | coef |  $p_0$    |  $u_i$ |  W  | $s_1$ | $s_2$ 
      $s_1$| 0    |  $y_i$    |   -1   |  x  |   1   |   0
      $s_2 | 0    |  $-y_i$   |    1   |  x  |   0   |   1
      z    |      |    0      |    -1  |  0  |   0   |   0

Крок 3: Виберіть основні змінні

y i / - 1 = - y i / 1 = - y i y i ≥ $u_i$ обрана вхідною базовою змінною. Тут виникає проблема. Вибираючи вихідну базову змінну, очевидно, що . Згідно з приміткою, якщо , проблема має необмежене рішення.$y_i/-1=-y_i/1=-y_i$$y_i\ge0$

Я тут абсолютно загублений. Цікаво, чи є щось не так і як слід продовжувати наступні кроки.

Ви хочете приклад для вирішення найменшого абсолютного відхилення лінійним програмуванням. Я покажу вам просту реалізацію в Р. Квантільна регресія - це узагальнення найменшого абсолютного відхилення, що стосується квантиля 0,5, тому я покажу рішення для квантильної регресії. Потім ви можете перевірити результати за допомогою quantregпакету R :

rq_LP  <-  function(x, Y, r=0.5, intercept=TRUE) {
    require("lpSolve")
    if (intercept) X  <-  cbind(1, x) else X <-  cbind(x)
    N   <-  length(Y)
    n  <-  nrow(X)
    stopifnot(n == N)
    p  <-  ncol(X)
    c  <-  c(rep(r, n), rep(1-r, n), rep(0, 2*p))  # cost coefficient vector
    A  <- cbind(diag(n), -diag(n), X, -X)
    res  <-  lp("min", c, A, "=", Y, compute.sens=1)
### Desempaquetar los coefs:
    sol <- res$solution
    coef1  <-  sol[(2*n+1):(2*n+2*p)]
    coef <- numeric(length=p)
    for (i in seq(along=coef)) {
         coef[i] <- (if(coef1[i]<=0)-1 else +1) *  max(coef1[i], coef1[i+p])
    }
    return(coef)
    }

Тоді ми використовуємо це на простому прикладі:

library(robustbase)
data(starsCYG)
Y  <- starsCYG[, 2]
x  <- starsCYG[, 1]
rq_LP(x, Y)
[1]  8.1492045 -0.6931818

тоді ви самі можете зробити перевірку quantreg.

Лінійне програмування може бути узагальнено за допомогою опуклої оптимізації, де крім симплексного, є ще багато надійних алгоритмів.

Я б запропонував вам переглянути книгу оптимізації конвексів та пакет інструментів CVX, який вони надали. Де можна легко сформулювати найменше абсолютне відхилення з регуляризацією.

https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf

http://cvxr.com/cvx/