Чому так називається очікуване значення?

Я розумію, як ми отримуємо 3,5 як очікувану величину для прокатки справедливої ​​шестигранної плашки. Але інтуїтивно я можу очікувати кожного обличчя з рівним шансом 1/6.

Тож чи не повинно бути очікуване значення прокатки штампу будь-якого числа між 1-6 з однаковою ймовірністю?

Іншими словами, коли задають питання "яка очікувана цінність кинути справедливу шестигранну смерть?", Слід відповісти "о, це може бути що-небудь між 1-6 з рівними шансами". Замість цього 3,5.
Інтуїтивно, в реальному світі, хтось може пояснити, наскільки 3,5 - це величина, яку я повинен очікувати, щоб кинути штамп?
Знову я не хочу формули чи виведення для очікування.

Уявіть, що ви перебуваєте в Парижі в 1654 році, і ви з вашим другом спостерігаєте за грою в азартні ігри, засновані на послідовному закатанні шестигранних кісток. Зараз азартні ігри є надзвичайно незаконними, а удари жандармом - досить часті, а потрапляння за стіл зі скупченнями ліврею майже гарантовано гарантує тривалий заїзд у Шато-д'Іф.

Щоб обійти це, ви та ваш друг домовляєтесь з джентльменом про ставку, зроблену між двома вами до останньої роликової смерті. Він погоджується платити вам п’ять ліврів, якщо ви будете спостерігати за двома шістдесятками в наступних п'яти рулонах кубиків, і ви погоджуєтесь заплатити йому стільки ж, якщо два будуть прокатуватися, без жодних інших дій, якщо ці комбінації не з’являться.

Тепер останній штамповальний шматок - це шість, так що ви перебуваєте на краю свого місця, образно. У цю мить важко озброєні охоронці ввірваються в вертеп і заарештовують усіх за столом, і натовп розходиться.

Ваш друг вважає, що ставка, зроблена між вами, зараз недійсна. Однак ти вважаєш, що він повинен заплатити тобі якусь суму, оскільки одна шістка вже була прокатана. Який справедливий спосіб врегулювання цієї суперечки між вами двома?

(Це моя інтерпретація витоків очікуваної вартості, як представлено тут, і детальніше обговорюється тут )

Давайте відповімо на це питання справедливої ​​вартості не суворо. Суму, яку повинен заплатити ваш друг, можна розрахувати наступним чином. Розгляньте всі можливі рулети з чотирьох кубиків. Деякі набори булочок (а саме такі, що містять хоча б одну шість) призведуть до того, що ваш друг виплатить узгоджену суму. Однак, на інших наборах (а саме на тих, що не містять жодної шістьки), ви отримаєте гроші. Як ви врівноважуєте можливість цих двох типів рулонів? Проста середня сума, яку ви заплатили б за ВСІ можливі рулони.

Однак твій друг (зовсім навряд чи) все-таки може виграти свою ставку! Ви повинні врахувати кількість разів, коли два з них будуть прокатуватися на чотирьох решти кубиках, і середню суму, яку ви заплатите йому за кількість усіх можливих рулонів з чотирьох кубиків. Це справедлива сума, яку ви повинні заплатити своєму другові за його ставку. Таким чином, сума, яку ви в кінцевому підсумку отримуєте, - це сума, яку повинен заплатити ваш друг, за вирахуванням тієї, яку ви повинні заплатити своєму другові.

Ось чому ми називаємо це "очікуваною цінністю". Це середня сума, яку ви очікуєте отримати, якщо зможете імітувати подію, що відбувається в декількох одночасних всесвітах.

Відмінне запитання. Це тонкіше, ніж здається спочатку. Це стосується випадкової події та випадкової змінної (число, значення). Ваша плутанина випливає із змішування цих двох споріднених, але відмінних понять.

Почнемо з події. З того, як ви сформулювали своє запитання, виходить, що ви розглядаєте результат події, пов'язаної з кісткою. Це випадково, тому ви можете отримати одну з шести її сторін з рівними шансами, як ви писали. Це має ідеальний сенс.

Яка очікувана цінність цього експерименту? Очікування визначаються для випадкових змінних (значень), а не подій. Для вас цифри від 1 до 6 на кубиках - це просто способи розрізнити його сторони (в контексті формулювання вашого запитання). Уявіть, що ви замість цього використовували літери: A, B, C, D, E та F. Замініть цифри літерами та повторіть своє запитання так:

Іншими словами, коли задають питання "яка очікувана цінність кинути справедливу шестигранну смерть?", Слід відповісти "о, це може бути все, що між A і F з рівними шансами"

Тепер спробуйте придумати очікуване значення. Це не визначено!

Очікування з'являються, коли ви визначаєте випадкові значення, наприклад, від 1 до 6. Ви зіставляєте значення в просторі подій, наприклад, ви визначаєте, що сторона A дорівнює 1, сторона B - 2 тощо. Тепер у вас є 6 чисел і можна обчислити очікування, яке буває 3,5.

"Кожне зі значень однаково вірогідне", або "деяке значення, найбільш вірогідне", - це визначення режиму, а не очікуваного значення.

Уявіть, що ми граємо в гру монетки. Кожного разу, коли я кидаю голови, я даю вам 1 $ , кожного разу, коли я кидаю хвости, ви даєте мені 1 $ . Скільки грошей ви б розраховували виграти чи програти в довгостроковій перспективі ? Суми рівні, ймовірності їх кидання рівні, очікуване значення дорівнює нулю.

Очікуване значення називається таким чином, тому що якщо ви середньо оцінюєте всі рулони з кістки, ви очікуєте отримати це очікуване значення з часом . Очікуване значення не пов'язане з жодним рулоном кістки.

З історичної точки зору, здавалося б, ця концепція з'являється в різних країнах, тому я б вважав використання цього слова зручним зближенням між подібними поняттями між мовами.

Моєю відправною точкою стали відмінні ранні використання символів у ймовірності та статистиці :

Очікування. Великий сценарій Е був використаний для очікування у відомому підручнику "Вибір та шанс" В.А. Уітворта (п'яте видання) 1901 р., Але ні символ, ні обчислення очікувань не з'явилися в англійській літературі значно пізніше. Наприклад, Математична статистика Ріца (1927) використовувала символ Е і прокоментувала, що "очікуване значення змінної - це поняття, яке багато використовувалося різними континентальними європейськими письменниками ..." Для континентальних європейських письменників Е означало "Ервартунг" або " espérance (примітка редактора: математика) ."

Термін іноді "приписують" Гюйгенсу, про який йде мова в фундаментах ймовірності Гюйгенса :

Загальновизнано, що Гюйгенс базував імовірність на очікуванні. Термін "очікування", однак, походить від латинського перекладу Вай-Шкотена з трактату Гюйгенса. Буквальний переклад голландського тексту Гюйгенса чіткіше показує, що насправді означав Гюйгенс і як він діяв.

Додаткові подробиці стосовно Ферма, Паскаля можна знайти в « Очікуванні» та ранніх вірогідностях .

Цікаво, що більш загальним поняттям, ніж очікуване значення, є розташування . Таким чином, поняття очікуваної вартості має тонкі наслідки, дещо заплутані.

$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ втрачає 1 долар, працює так само, як і середній показник, з перевагою того, що насправді має результати у цій Всесвіті.

Причина незмінно обмеженої асоціації між термінами "очікувана величина" та "середня вартість" виглядає як історична, а не семантично правильна, або навіть особливо зумовлена. Тобто контекст, в якому обчислене очікуване значення відповідає очікуванню місця, що характеризує поведінку в наборі даних, обмежується лише певними розподілами даних, а не іншими.

$f$ застосовується, таким чином, простежується для Чебишева 1887 р. Така сила теореми про центральну межу, що вона стала дужкою вираз для асоціювання очікуваного значення із середнім значенням, на відміну від більш загальної міри розташування.

А як щодо розповсюдження даних, які не є нормальними, для яких інші заходи є більш стабільними та / або більш репрезентативними для цих даних? Наприклад, середнє значення або середнє екстремальне значення даних від рівномірного розподілу є більш точним і стабільним, тобто точним і збігається швидше, ніж середнє або середнє значення для цього розподілу. Для нормальних розподілів журналу, наприклад, (більша частина обробки) даних про доходи, анти-журнал середнього логарифму даних ( середнє геометричне значення AKA)$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$