Наслідки нерівності кореляції Гаусса для обчислення спільних довірчих інтервалів

Згідно з цією дуже цікавою статтею журналу Quanta: "Довгодумний доказ, знайдений і майже загублений" , - доведено, що дано вектор що має багатовимірний гауссова розподіл, і задані інтервали зосереджений навколо засобів відповідних компонентів , тоді $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ $I_1,\dots,I_n$ $\mathbf{x}$

p (x_{1} \in I_{1}, \dots, x_{n} \in I_{n}) \geq \prod_{i = 1}^{n} p (x_{i} \in I_{i})

$p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i)$

(Нерівність кореляції Гаусса або GCI; див. Https://arxiv.org/pdf/1512.08776.pdf для більш загального формулювання).

Це здається дуже приємним і простим, і в статті йдеться, що це має наслідки для спільних інтервалів довіри. Однак мені здається цілком марним. Припустимо, ми параметри , і ми знайшли оцінки які (можливо, асимптотично) спільно нормальні (наприклад, оцінювач MLE) . Тоді, якщо я обчислюю 95% інтервалів впевненості для кожного параметра, GCI гарантує, що гіперкуб є спільною довірчою областю з охопленням не менше ... що є досить низьким покриттям навіть для помірного . $\theta_1,\dots,\theta_n$ $\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}$ $I_1\times\dots I_n$ $(0.95)^n$ $n$

Таким чином, це не здається розумним способом пошуку областей спільної довіри: звичайну область довіри для багатоваріантного гаусса, тобто гіперреліпсоїда, не важко знайти, якщо матриця коваріації відома і вона чіткіша. Можливо, це може бути корисним для пошуку регіонів довіри, коли матриця коваріації невідома? Чи можете ви показати мені приклад відповідності ІСН для обчислення регіонів спільної довіри?

normal-distribution confidence-interval multivariate-normal

— DeltaIV
джерело

Ви маєте правильну ідею. Індивідуальні інтервали довіри повинні бути значно більшими, ніж 95%, щоб спільний регіон досяг 95%. Кожна повинна бути принаймні 0,95 піднята до 1-ї потужності.

— Майкл Р. Черник

Невелика, але важлива корекція: Інтервали

повинні бути зосереджені навколо нуля, тобто

I_{k}

$I_k$

I_{k} = {x : | x | \leq x_{k}}

$I_k=\{x: |x|\leq x_k\}$

— Алекс Р.

@amoeba Мене хвилює не складність доказування, а його відповідність застосованій статистиці. Якщо розгляд гіперрегулярного кута полегшує показ такої актуальності, добре. Якщо замість цього ви вважаєте, що ця нерівність стає корисною на практиці лише тоді, коли розглядається довільний багатокутник, досить справедливо. Я прийму відповідь, в якій сказано: "Якщо ви вважаєте лише гіперрегулярні, GCI не є дуже корисним інструментом для прикладної статистики, тому що .... Але якщо розглянути довільні багатокутники, то це стає актуальним, тому що ..."

— DeltaIV

Я хотів редагувати і розглядав документи з доказами, але зараз я вже не на 100% впевнений, чи є гіперкремотарій спеціальним / легким випадком або еквівалентним формулюванням. Я покину його зараз і, можливо, повернусь сюди пізніше.

— Амеба каже: Відновити Моніку

гіперпрямокутники, орієнтовані на початок (де з центром у початку, я маю на увазі, що кожен 1D інтервал, чий декартовий продукт визначає гіперректанги, симетричний з походженням), безумовно, є принаймні окремим випадком (я не маю уявлення, чи є вони рівнозначний випадок). Згідно з документом arXiv, нерівність справедлива для всіх симетричних опуклих множин. Гіперпрямокутник

- це опуклий набір, і якщо він зосереджений на початку у значенні, визначеному вище, то він симетричний, тобто

H

$H$

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in H ⟺ - x \in H

$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in H \iff -\mathbf{x} \in H$

— DeltaIV

Я думаю, що питання є більш актуальним. У певному сенсі ви переглядаєте тестування численних гіпотез і порівнюєте тестування з декількома тестами гіпотез.

Так, дійсно існує нижня межа, яка є добутком p-значень тестів, що передбачають незалежність. Це основа для коригування р-значень у тестах з багатогіпотезами, такими як коригування Бонферроні або Холма. Але налаштування Бонферроні і Холма (якщо припустити незалежність) є особливо низькими тестами на потужність.

На практиці можна зробити набагато краще (і це робиться за допомогою Bootstrap, див., Наприклад, перевірку реальності завантаження H White, статті Романо-Вольфа та більш недавній набір робіт про набори моделей впевненості). Кожен із них - це спроба випробування гіпотези на більш високу потужність (наприклад, використання оціночної кореляції краще, ніж просто використання цієї нижньої межі) і, отже, набагато релевантніше.

— НБФ
джерело