Корельовані випробування Бернуллі, багатофакторний розподіл Бернуллі?

Я спрощую дослідницьке питання, яке у мене є на роботі. Уявіть, що у мене є 5 монет, і давайте назвемо голову успіху. Це ДУЖЕ упереджені монети з вірогідністю успіху p = 0,1. Тепер, якщо монети були незалежними, то отримати ймовірність принаймні на 1 голову і більше дуже просто, . За моїм сценарієм, мої випробування Бернуллі (викидання монет) не є незалежними. Єдина інформація, до якої я маю доступ, - це ймовірність успіху (кожна - p = .1) та теоретичні кореляції Пірсона серед бінарних змінних.$1-(1-1/10)^5$

Чи є спосіб обчислити ймовірність одного успіху чи більше лише за допомогою цієї інформації? Я намагаюся уникати підходу на основі моделювання, оскільки ці теоретичні результати будуть використані для орієнтації на точність дослідження імітаційного моделювання. Я розглядав багатоваріантний розподіл Бернуллі, але не думаю, що можу його повністю визначити лише з кореляціями та граничними вірогідностями успіху. Мій друг порекомендував побудувати копулу Гаусса з маргіналами Бернуллі (використовуючи пакет R copula), а потім скористатися pMvdc()функцією на великому зразку, щоб отримати бажану мені ймовірність, але я не точно знаю, як з цим боротися .

Ні, це неможливо, коли у вас є три і більше монети.

Корпус двох монет

Давайте спочатку розберемося, чому він працює на дві монети, оскільки це дає певну інтуїцію щодо того, що виходить з ладу у випадку більшої кількості монет.

Нехай і позначають розподілені змінні Бернуллі, що відповідають двом випадкам, , . Спочатку нагадаємо, що співвідношення і є$X$$Y$$X \sim \mathrm{Ber}(p)$$Y \sim \mathrm{Ber}(q)$$X$$Y$

$$\mathrm{corr}(X, Y) = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}},$$

і оскільки ви знаєте маргінали, ви знаєте , , та , тож знаючи кореляцію, ви також знаєте . Тепер тоді і тільки тоді, коли і і , тому $E[X]$$E[Y]$$\mathrm{Var}(X)$$\mathrm{Var}(Y)$$E[XY]$$XY = 1$$X = 1$$Y = 1$

$$E[XY] = P(X = 1, Y = 1).$$

Знаючи маргінали, ви знаєте , і . Оскільки ми тільки що виявили, що ви знаєте , це означає, що ви також знаєте і , але тепер ви повторно, як імовірність, яку ви шукаєте$p = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1)$$q = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1)$$P(X = 1, Y = 1)$$P(X = 1, Y = 0)$$P(X = 0, Y = 0)$

$$P(X = 1, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1).$$

Зараз мені особисто все це легше бачити за допомогою малюнка. Нехай . Тоді ми можемо зобразити різні ймовірності як форми квадрата:$P_{ij} = P(X = i, Y = j)$

Тут ми побачили, що знання кореляцій означає, що ви можете вивести , позначений червоним кольором, і знаючи крайові поля, ви знаєте суму за кожен край (один з яких позначений синім прямокутником).$P_{11}$

Корпус трьох монет

За три монети це не піде так просто; інтуїтивно не важко зрозуміти, чому: знаючи маргінали та кореляцію, ви знаєте загалом параметри, але спільний розподіл має результатів, але, знаючи ймовірності для із них , можна з'ясувати останнє; тепер, , тому здається розумним, що можна було б скласти два різних спільних розподіли, межі поля та кореляції яких однакові, і що можна переставити ймовірності, поки ті, що шукає, не відрізнятимуться.$6 = 3 + 3$$2^3 = 8$$7$$7 > 6$

Нехай , і - три змінні, і нехай$X$$Y$$Z$

$$P_{ijk} = P(X = i, Y = j, Z = k).$$

У цьому випадку малюнок зверху стає таким:

Розміри зіткнулися одним: червона вершина стала декількома кольоровими краями, а край, покритий синім прямокутником, став цілим обличчям. Тут синя площина вказує на те, що, знаючи граничну, ви знаєте суму ймовірностей всередині; для того, хто на малюнку,

$$P(X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},$$

і аналогічно для всіх інших граней у кубі. Кольорові ребра вказують на те, що знаючи кореляції, ви знаєте суму двох ймовірностей, з'єднаних ребром. Наприклад, знаючи , ви знаєте (точно так, як вище), і$\mathrm{corr}(X, Y)$$E[XY]$

$$E[XY] = P(X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111}.$$

Отже, це ставить деякі обмеження щодо можливих спільних розподілів, але тепер ми звели вправу до комбінаторної вправи наведення чисел на вершини куба. Не маючи додаткової приналежності, надамо два спільні розподіли, межі яких і співвідношення однакові:

Тут розділіть усі числа на щоб отримати розподіл ймовірностей. Щоб побачити, що вони працюють і мають однакові маргінали / кореляції, просто зауважте, що сума ймовірностей на кожній грані дорівнює (мається на увазі, що змінні ), і що суми для вершини на кольорових краях узгоджуються в обох випадках (у цьому конкретному випадку всі кореляції насправді однакові, але це взагалі не повинно бути).$100$$1/2$$\mathrm{Ber}(1/2)$

Нарешті, ймовірність отримати хоча б одну голову, та , в двох випадках різні, що ми хотіли довести.$1 - P_{000}$$1 - P_{000}'$

Для мене, придумавши ці приклади, зводилося до того, щоб поставити числа на куб, щоб створити один приклад, а потім просто змінити і дозволити змінам поширюватися.$P_{111}$

Редагувати: Тут я зрозумів, що ви працюєте з фіксованими маргіналами, і що ви знаєте, що кожна змінна була , але якщо малюнок вище має сенс, можна налаштувати до тих пір, поки ви не отримаєте бажаних маргіналів.$\mathrm{Ber}(1/10)$

Чотири і більше монети

Нарешті, коли у нас є більше трьох монет, не повинно дивуватися, що ми можемо підготувати приклади, які не виходять з ладу, оскільки зараз у нас є ще більша розбіжність між кількістю параметрів, необхідних для опису спільного розповсюдження, та тими, які нам надають маргінали та кореляції.

Конкретніше, для будь-якої кількості монет, більших за три, ви можете просто розглянути приклади, перші три монети яких поводяться так, як у двох прикладах, наведених вище, і результати останніх двох монет не залежать від усіх інших монет.

Корельовані випробування Бернуллі призводять до бета-біноміального розподілу для підрахованих результатів. Потрібно мати можливість параметризувати цей розподіл, щоб дати задане значення кореляції, а потім обчислити бажану ймовірність.