Я не розумію дисперсію двочлена

Я дуже глум, навіть задаючи таке основне питання, але ось що:

Якщо у мене є випадкова величина яка може приймати значення і , з і , то якщо я витягу з неї вибірок, я отримаю біноміальний розподіл. $X$ $0$ $1$ $P(X=1) = p$ $P(X=0) = 1-p$ $n$

Середнє значення розподілу -

$\mu = np = E(X)$

Варіантність розподілу є

$\sigma^2 = np(1-p)$

Ось, звідки починаються мої неприємності:

Варіантність визначається . Оскільки квадрат двох можливих результатів нічого не змінює ( і ), це означає , так що це означає $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ $X$ $0^2 = 0$ $1^2 = 1$ $E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

Куди йде зайвий ? Як ви, напевно, можете сказати, я не дуже хороший у статистиці, тому, будь ласка, не використовуйте складну термінологію: $n$

variance binomial

— Dain
джерело

Якщо і вони незалежні, то . Але ще простішим маршрутом є тому так що незалежність

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Генрі

Відповіді:

Випадкова величина приймає значення і з ймовірностями і , називається випадковою змінною Бернуллі з параметром . Ця випадкова величина має Припустимо, у вас є випадкова вибірка розміру від та визначити нову випадкову змінну , тоді розподіл називається двочленним, параметри якого є $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$ і . Середнє значення та дисперсія двочленної випадкової величини Y задається через

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— LVRao
джерело

Як це відповідає на запитання, яке було "Куди йде зайва росіянка?"

— амеба каже, що повернеться до Моніки

@amoeba Дякую за ваш коментар. Оскільки ОП не міг розрізняти Бернуллі від Біноміальних випадкових величин, я думав нагадати йому необхідні визначення та процес отримання необхідних виразів.

— LVRao

Я просто кажу, що ваша відповідь (на мою думку) покращиться, якщо ви прямо вкажете на помилку в міркуваннях ОП. Ваша відповідь отримує правильні формули, але не показує, де ОП пішла не так.

— амеба каже, що поверніть Моніку

@amoeba Правда. Дати певний напрямок, змусити їх виправити себе також допомагає іноді.

— LVRao

Дві помилки у вашому процесі доказування:

1: у першому абзаці має інше визначення порівняно з у решті статті. $X$ $X$

2: За умови, що ~ , . Спробуйте працювати з $X$ $Bin(p, n)$ $E(X^2) \ne E(X)$ $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— користувач158565
джерело

Якщо вам подобається, щоб очі кровоточили, я переписав багато своїх записок з випускної школи. Цей конкретний посилання показує походження E (X) та E (X ^ 2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/…

— Бенджамін