Чому на латинських квадратах кажуть, що рядки, обробка та стовпці є ортогональними

Я завжди чув "ортогональні" в області геометрії (також зауважте, що я не є носієм англійської мови). Я не розумію наступного для латинських квадратів (цитата з текстової книги):

Кожне лікування (ABCD) з’являється один раз у кожному ряду. Отже, обробка та ряди є ортогональними. ... Рядки та стовпці є ортогональними для обробки.

$$\begin{matrix}\,&1&2&3&4\\1&A&B&C&D\\2&B&C&D&A\\3&C&D&A&B\\4&D&A&B&C\end{matrix}$$

Що тут розуміється під ортогональністю?

що це означає, або що робить латинський квадрат

Ортогональність стовпців та рядків означає, що їхня дія знімається із значень очікування для деякої обробки (A, B, C, D).$i$$j$$k$

Дивіться формулу (для моделі без перехресних ефектів)

$Y_{ijk} = \alpha + c_i + r_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}$

очікування якого для певного рівня (A, B, C або D) стає наступним$k$

$E(Y_{ijk} \vert k) = \alpha + \beta_k$

за умови, що обробка не співвідноситься (ортогональна) з рядками та стовпцями.

обробка A (і аналогічно для B, C і D) перевіряється однаковою кількістю разів у кожному рядку, і таким чином можна усунути (середнє значення) впливу рядка на очікувану величину обробки A.

ортогональність

Я не впевнений, що це походження етимології, але це те, що я уявляю з ортогональністю

У прикладі у вас є такі тести (стовпець, рядок, обробка):

1,1,A
1,2,B
1,3,C
1,4,D
2,1,B
2,2,C
2,3,D
2,4,A
3,1,C
3,2,D
3,3,B
3,4,A
4,1,D
4,2,A
4,3,B
4,4,C

якщо взяти це за матрицю і обчислити то ви отримаєте в недіагональних елементах суму добутків, у яких кожен доданок трапляється однакову кількість разів.$M$$M^TM$

наприклад, добуток першого та третього стовпців $(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4) \cdot (A,B,C,D,B,C,D,A,C,D,A,B,D,A,B,C) = (1+2+3+4)(A+B+C+D) = 16 \mu_i \mu_j$

і ця властивість може бути пов'язана з ортогональністю стовпців у матриці