Коли закон великих чисел провалюється?

Питання полягає в тому, що зазначено в заголовку: Коли закон великих чисел не вдається? Що я маю на увазі, в яких випадках частота події не буде тяжіти до теоретичної ймовірності?

probability mathematical-statistics law-of-large-numbers

— emanuele
джерело

Існує дві теореми (Колмогорова), і обидві вимагають, щоб очікуване значення було кінцевим. Перший справедливий, коли змінні IID, другий, коли вибірка є незалежною і дисперсія задовольняє $X_n$

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{V (X_{n})}{n^{2}} < \infty

$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$

Скажіть, що всі мають очікуване значення 0, але їх відмінність так що умова явно не відповідає. Що ж відбувається тоді? Ви все ще можете обчислити оцінене середнє значення, але це значення не буде мати тенденцію до 0, оскільки ви пробите все глибше і глибше. Він буде схильний дедалі більше відхилятися, коли ви продовжуватимете вибірку. $X_n$ $n^2$

Наведемо приклад. Скажіть, що є рівномірним щоб умова вище не вдавалася епічно. $X_n$ $U(-n2^n , n2^n)$

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{V (X_{n})}{n^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} 2^{2 n + 2}}{12} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{3} \sum_{n = 1}^{\infty} 4^{n} = \infty .

$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$

Зауваживши це

{\bar{X}}_{n} = \frac{X_{n}}{n} + \frac{n - 1}{n} {\bar{X}}_{n - 1},

$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$

за індукцією ми бачимо, що обчислене середнє значення завжди знаходиться в інтервалі . Використовуючи ту ж формулу для , ми бачимо , що завжди є шанс більше , ніж , що лежить поза . Дійсно, $\bar{X}_n$ $(-2^n, 2^n)$ $n+1$ $1/8$ $\bar{X}_{n+1}$ $(-2^n, 2^n)$ є одноріднимі лежить позаз ймовірністю. З іншого боку, $\frac{X_{n+1}}{n+1}$ $U(-2^{n+1},2^{n+1})$ $(-2^n, 2^n)$ $1/4$ впо індукції, асилу симетрії вона позитивна з ймовірністю. З цих спостережень безпосередньо слідщобільшеніжабо менше, кожен з ймовірністю більшеніж. Оскільки ймовірність того, що $\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$ $(-2^n, 2^n)$ $1/2$ $\bar{X}_{n+1}$ $2^n$ $-2^n$ $1/16$ більшеніж , не може бути збіжність до 0 при прямує до нескінченності. $|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$ $1/8$ $n$

Тепер, щоб конкретно відповісти на ваше запитання, розглянемо подія . Якщо я добре зрозумів, ви запитуєте: "в яких умовах таке твердження хибне?" $A$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} 1_{A} (X_{k}) = P (X \in A), [P] a . s .

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$

$1_A$ $A$ $1_A(X_k) = 1$ $X_k \in A$ $0$ $X_k$ $X$

$X_k$

$X_k$ $X_1$ $k$ $n$ $A$

— gui11aume
джерело

Один коментар. На wikipedia (lnl сторінка) я прочитав, що нескінченність дисперсії лише уповільнює збіжність середнього значення. Чи відрізняється від того, що ви заявляєте?

— emanuele

Ви двоє обговорюєте один і той же закон? Питання задає питання про частоту подій, хоча ця відповідь, як видається, зосереджена на розподілі вибірки середнього значення . Хоча є зв’язок, він поки що явно не з’явився тут, наскільки я можу сказати.

— whuber

@whuber Правда. Я занадто зосередився на заголовку питання. Дякуємо за вказівку Я оновив відповідь.

— gui11aume

@ gui11aume я не розумію "Ми бачимо, що умова вище буде виконуватися, оскільки дисперсія функції індикатора обмежена вище на 1/4." Що це означає?

— emanuele

Якщо вони ідентично розподілені, але не є незалежними, обмеження, про яке йде мова, може взагалі не існувати.

— кардинал